§3.3 商空間
本節重點:掌握商空間、商拓撲、商映射的定義．
將一條橡皮筋的兩個端點“粘合”起來，我們便得到了一個像皮圈；將一塊正方形的橡皮塊一對對邊上的點按同樣的方向兩兩‘粘合”起來，我們便得到了一個橡皮管，再將這個橡皮管兩端的兩個圓圈上的點按同樣的方向兩兩“粘合”起來，我們又得到了一個橡皮輪胎……這種從一個給定的圖形構造出一個新圖形的辦法可以一般化．
我們在第一章中討論過等價關係和商集的概念．所謂商集乃是在一個集合中給定了一個等價關係之後將相對於這個等價關係而言的等價類所構成的集合，通俗地說便是分別將每一個等價類中的所有的點“粘合”爲一個點後得到的集合．在定義1.5.6中我們也曾說起過在一個集合X中給定了一個等價關係R之後，從集合X到商集X/R有一個自然的投射p：X→X/R，它是一個滿射．注意到了這一點，下面引出商拓撲和商空間的概念的方式便顯得順理成章了．
定義3.3.1 設（X，T）是一個拓撲空間，Y是一個集合，f:X→Y是一個滿射．容易驗證(請自行驗證)Y的子集族．
是Y的一個拓撲．我們稱爲Y的（相對於滿射f而言的）商拓撲．
容易直接驗證在上述定義的條件下，Y的一個拓撲是Y的商拓撲當且僅當在拓撲空間（Y，）中FY是一個閉集的充分必要條件是（F）是X中的一個閉集．
定理3.3.1 且設（X，T）是一個拓撲空間，Y是一個集合，f:X→Y是一個滿射．則
（1）如果是Y的商拓撲，則f:X→Y是一個連續映射；
（2）如果是Y的一個拓撲，使得對於這個拓撲而言映射f是連續的，則這也就是說商拓撲是使映射f連續的最大的拓撲．
證明（1）根據定義自明．
（2）如果U∈，由於滿射f對於Y的拓撲而言連續，故 因此U∈．這證明．
定義3.3.2 設X和Y是兩個拓撲空間，f:X→Y．我們稱映射f爲一個商映射，如果它是一個滿射並且Y的拓撲是對於映射f而言的商拓撲．
根據定理3.3.1可見商映射是連續的．下面的這個定理告訴我們如何利用商映射來驗證一類映射的連續性．
定理3.3.2 設X，Y和Z都是拓撲空間，且f:X→Y是一個商映射．則映射g：Y→Z連續當且僅當映射gof:X→Z連續．
證明 由於商映射f連續，故當g連續時gf連續．
另一方面，設gf連續，若W∈，則．然而
所以根據商拓撲的定義．這便證明了g連續．
爲了應用定理3.3.2，如何知道一個拓撲空間的拓撲是相對於從另一個拓撲空間到它的一個滿射而言的商拓撲便成了一個有意思的問題．我們在這裏只給出一個簡單的必要條件．爲此先陳述開映射和閉映射的定義．
定義3.3.3 設X和Y是兩個拓撲空間．映射f: X→Y稱爲一個開映射（閉映射），如果對於X中的任何一個開集（閉集）U，象集f(U)是Y中的一個開集（閉集）．
定理3.3.3 設X和Y是兩個拓撲空間．如果映射f: X→Y是一個連續的滿射，並且是一個開映射（閉映射），則Y的拓撲便是相對於滿射f而言的商拓撲．
證明 我們證明當f是開映射的情形．設Y中的使f連續的拓撲爲,商拓撲爲
如果V∈，由於映射f連續，，因此V∈．並且．
反之，如果V∈，則，由於f是一個開的滿射，
所以，因此．
從而,．
綜上所述，我們證明了Y的拓撲便是商拓撲．當f是閉映射的情形時，證明是類似的．
定義3.3.4 設（X，T）對是一個拓撲空間，R是X中的一個等價關係．商集X/R的（相對於自然的投射p：X→X/R而言的）商拓撲稱爲X／R的（相對於等價關係R而言的）商拓撲，拓撲空間（X/R，）稱爲拓撲空間（X，T）的（相對於等價關係R而言的）商空間．
如果X是一個拓撲空間，R是X中的一個等價關係，若無另外的說明，我們總認爲商集X/R的拓撲是商拓撲，也就是說將商集X/R認作拓撲空間時，指的就是商空間．因此投射p:X→X／R是一個商映射．
通過在一個拓撲空間中給定等價關係的辦法來得到商空間是構造新的拓撲空間的一個重要手法．下面給出若干例子．
例3.3.1 在實數空間R中給定一個等價關係
={（x，y）∈|或者x，y∈Q；或者x，yQ}
所得到的商空間R/實際上便是由兩個點構成的平庸空間．（請讀者自行驗證．）然而，明確地寫出上面那個等價關係有時是很麻煩的，我們經常採用一種較爲通俗的簡便說法，將這個商空間R/說成是“在實數空間中將所有有理點和所有無理點分別粘合（或等同）爲一點所得到的商空間”．
例3.3.2 在單位閉區間I＝[0,1]，中給定一個等價關係～={（x，y）∈|或着x＝y，或者{x，y}={0,1}}，我們便得到了一個商空間［0，1］/～．由於與例3.3.l中同樣的理由，習慣上也將這個商空間說成是“在單位閉區間I中粘合兩個端點所得到的商空間”．事實上（參見習題6），這個商空間與單位圓周同胚．
類似地我們還可以構造出許多爲讀者熟悉或不熟悉的拓撲空間．例如在單位正方形中將它的一對豎直的對邊上的每一對具有相同的第二個座標的點（0，x）和（1，x）粘合，得到的商空間將同胚於一截“管子”，而將它的一對豎直的對邊上的每一對點（0，x）和（1，1-x）粘合得到的商空間通常叫做Mobius帶．數學中許多重要的對象如環面，Klein瓶，射影平面和射影空間等也都可以作爲商空間而給出，我們在此不做進一步的介紹．
本章總結：本章的學習重點是§3.1．難點也是它．也就是說,今後若遇到有關X空間的子集的各種概念時,指的都是子空間的各種概念,概念中涉及到的開集、閉集、導集、閉包等均指的是子空間的開集、閉集、導集、閉包，它們與X空間的開集、閉集、導集、閉包不相同（見引理3.1.2,定理3.1.5,3.1.6)．一定要記住這一點．
本章的§3.2與§3.3是作爲應理解的知識,理解就行．