§2.3 鄰域與鄰域系
本節重點：
掌握鄰域的概念及鄰域的性質；
掌握連續映射的兩種定義；
掌握證明開集與鄰域的證明方法（今後證明開集常用定理2.3.1）．
我們在數學分析中定義映射的連續性是從“局部”到“整體”的，也就是說先定義映射在某一點處的連續性，然後再定義這個映射本身的連續性．然而對於拓撲空間的映射而言，先定義映射本身的連續性更爲方便，所以我們先在§2.2中做好了；現在輪到給出映射在某一點處的連續性的定義了．在定理2.1.4中我們已經發現，爲此只要有一個適當的稱之爲“鄰域”的概念，而在§2.1中定義度量空間的鄰域時又只用到“開集”．因此我們先在拓撲空間中建立鄰域的概念然後再給出映射在某一點處的連續性的概念，這些概念的給出一點也不會使我們感到突然．
定義2.3.1 設（X，P)是一個拓撲空間，x∈X．如果U是X的一個子集，滿足條件：存在一個開集V∈P使得x∈VU，則稱U是點x的一個鄰域．點x的所有鄰域構成的x的子集族稱爲點x的鄰域系．易見，如果U是包含着點x的一個開集，那麼它一定是x的一個鄰域，於是我們稱U是點x的一個開鄰域．
首先注意，當我們把一個度量空間看作拓撲空間時（這時，空間的拓撲是由度量誘導出來的拓撲），一個集合是否是某一個點的鄰域，無論是按§2.1中的定義或者是按這裏的定義，都是一回事．
定理2.3.1 拓撲空間X的一個子集U是開集的充分必要條件是U是它的每一點的鄰域，即只要x∈U，U便是x的一個鄰域．
證明 定理中條件的必要性是明顯的．以下證明充分性．如果U是空集，當然U是一個開集．下設U≠．根據定理中的條件，
使得
故U=，根據拓撲的定義，U是一個開集．
定理2.3.2概括了鄰域系的基本性質．
定理2.3.2 設X是一個拓撲空間．記爲點x∈X的鄰域系．則：
（1）對於任何x∈X，≠；並且如果U∈，則x∈U；
（2）如果U，V∈，則U∩V∈；
（3）如果U∈並且UV，則V∈；
（4）如果U∈，則存在V∈滿足條件：(a)VU和(b)對於任何y∈V，有V∈．
證明（1）X,X∈P,∴X∈,∴≠且由定義,如果
U∈，則x∈U
（2）設U，V∈．則存在U．∈P和∈P使得和成立．從而我們有,T,∴U∩V∈
（3）設U∈，並且
（4）設U∈．令V∈P滿足條件．V已經滿足條件（a），根據定理2.3.1，它也滿足條件（b）．
以下定理表明，我們完全可以從鄰域系的概念出發來建立拓撲空間理論，這種做法在點集拓撲發展的早期常被採用．這種做法也許顯得自然一點，但不如現在流行的從開集概念出發定義拓撲來得簡潔．
定理2.3.3 設X是一個集合．又設對於每一點x∈X指定了x的一個子集族，並且它們滿足定理2.3.2中的條件（1）～（4）．則x有惟一的一個拓撲T使得對於每一點x∈X，子集族恰是點x在拓撲空間（X，P)中的鄰域系．(證明略)
現在我們來將度量空間之間的連續映射在一點處的連續性的概念推廣到拓撲空間之間的映射中去．
定義2.3.2 設X和Y是兩個拓撲空間，f:X→Y，x∈X．如果
f（x）∈Y的每一個鄰域U的原象（U）是x∈X的一個鄰域，則稱映射f是一個在點x處連續的映射，或簡稱映射f在點x處連續．
與連續映射的情形一樣，按這種方式定義拓撲空間之間的映射在某一點處的連續性也明顯地是受到了§2.1中的定理2.1.4的啓發．並且該定理也保證了：當X和Y是兩個度量空間時，如果f: X→Y是從度量空間X到度量空間Y的一個映射，它在某一點x∈X處連續，那麼它也是從拓撲空間X到拓撲空間Y的一個在點x處連續的映射；反之亦然．
這裏我們也有與定理2.2.l類似的定理．
定理2.3.4 設X，Y和Z都是拓撲空間．則
（1）恆同映射：X→X在每一點x∈X處連續；
（2）如果f：X→Y在點x∈X處連續，g：Y→Z在點f（x）處連續，則gof：X→Z在x處連續．
證明請讀者自己補上．
以下定理則建立了“局部的”連續性概念和“整體的”連續性概念之間的聯繫．
定理2.3.5 設X和Y是兩個拓撲空間，f：X→Y．則映射f連續當且僅當對於每一點x∈X，映射f在點x處連續．
證明必要性：設映射f連續，
這證明f在點X處連續．
充分性：設對於每一點x∈X，映射f在點x處連續．
這就證明了f連續．