§2.4 導集，閉集，閉包
本節重點：
熟練掌握凝聚點、導集、閉集、閉包的概念；
區別一個點屬於導集或閉包的概念上的不同；
掌握一個點屬於導集或閉集或閉包的充要條件；
掌握用“閉集”敘述的連續映射的充要條件．
如果在一個拓撲空間中給定了一個子集，那麼拓撲空間中的每一個點相對於這個子集而言“處境”各自不同，因此可以對它們進行分類處理．
定義2.4.1 設X是一個拓撲空間，AX．如果點x∈X的每一個鄰域U中都有A中異於x的點，即U∩（A-{x}）≠，則稱點x是集合A的一個凝聚點或極限點．集合A的所有凝聚點構成的集合稱爲A的導集，記作d（A）．如果x∈A並且x不是A的凝聚點，即存在x的一個鄰域U使得U∩（A-{x}）＝，則稱x爲A的一個孤立點．
即:(牢記)
在上述定義之中，凝聚點、導集、以及孤立點的定義無一例外地都依賴於它所在的拓撲空間的那個給定的拓撲．因此，當你在討論問題時涉及了多個拓撲而又談到某個凝聚點時，你必須明確你所談的凝聚點是相對於哪個拓撲而言，不容許產生任何混淆．由於我們將要定義的許多概念絕大多數都是依賴於給定拓撲的，因此類似於這裏談到的問題今後幾乎時時都會發生，我們不每次都作類似的註釋，而請讀者自己留心．
某些讀者可能已經在諸如歐氏空間中接觸過剛剛定義的這些概念，但絕不要以爲對歐氏空間有效的性質，例如歐氏空間中凝聚點的性質，對一般的拓撲空間都有效．以下兩個例子可以幫助讀者澄清某些不正確的潛在印象．
例2.4.1 離散空間中集合的凝聚點和導集．
設X是一個離散空間，A是X中的一個任意子集．由於X中的每一個單點集都是開集，因此如果x∈X，則X有一個鄰域{x}，使得，以上論證說明，集合A沒有任何一個凝聚點，從而A的導集是空集，即d（A）＝．
例2.4.2 平庸空間中集合的凝聚點和導集．
設X是一個平庸空間，A是X中的一個任意子集．我們分三種情形討論：
第1種情形：A=．這時A顯然沒有任何一個凝聚點，亦即
d（A）=．（可以參見定理2.4.1中第（l）條的證明．）
第2種情形：A是一個單點集，令 A＝{}如果x∈X，x≠，點x只有惟一的一個鄰域X，這時，所以；因此x是A的一個凝聚點，即x∈d（A）．然而對於的惟一鄰域X有：所以
d（A）=X-A．
第3種情形：A包含點多於一個．請讀者自己證明這時X中的每一個點都是A的凝聚點，即d（A）＝X．
定理2.4.1 設X是一個拓撲空間，AX．則
（l）d（）=；
（2）AB蘊涵d（A）d（B）；
（3）d（A∪B）＝d（A）∪d（B）；
（4）d（d（A））A∪d（A）．
證明 （1）由於對於任何一點x∈X和點x的任何一個鄰域U，
有U∩
（2）設AB．如果．
這證明了d（A）d（B）．
（3）根據（2），因爲A，BA∪B，所以有d（A），d（B）d（A∪B），從而d（A）∪d（B）d（A∪B）．
另一方面，如果
綜上所述，可見（3）成立．(這是證明一個集合包含於另一個集合的另一方法:要證,只要證即可．)
（4）設：
即（4）成立．
定義2.4.2 設X是一個拓撲空間，AX．如果A的每一個凝聚點都屬於A，即d（A）A，則稱A是拓撲空間X中的一個閉集．
例如，根據例2.4.l和例2.4.2中的討論可見，離散空間中的任何一個子集都是閉集，而平庸空間中的任何一個非空的真子集都不是閉集．
定理2.4.2 設X是一個拓撲空間，AX．則A是一個閉集，當且僅當A的補集是一個開集．
證明 必要性：設A是一個閉集
充分性：設：
即A是一個閉集．
例2.4.3 實數空間R中作爲閉集的區間．
設a，b∈R，a＜b．閉區間[a，b]是實數空間R中的一個閉集，因爲[a，b]的補集=（-∞，a）∩（b，∞）是一個開集．
同理，（-∞，a]，[b，∞）都是閉集，（-∞，∞）＝R顯然更是一個閉集．然而開區間（a，b）卻不是閉集，因爲a是（a，b）的一個凝聚點，但a（a，b）．同理區間（a，b]，[a，b），（-∞，a）和（b，∞）都不是閉集．
定理2.4.3 設X是一個拓撲空間．記F爲所有閉集構成的族．則：
（1）X，∈F
（2）如果A，B∈F，則AUB∈F
（從而如果)
（3）如果≠
在此定理的第（3）條中，我們特別要求≠的原因在於當
=時所涉及的交運算沒有定義．
證明 根據定理2.4.2，我們有T={|U∈F}其中，T爲X的拓撲．
（1）∵X，∈T，∴
（2）若A、B∈F ，則
（3）令：
定理證明完成．
總結：（1）有限個開集的交是開集，任意個開集的並是開集．其餘情形不一定．
（2）有限個閉集的並是閉集，任意個閉集的交是閉集．其餘情形不一定．
定義2.4.3 設X是一個拓撲空間,AX,集合A與A的導集d(A)的並A∪d(A)稱爲集合A的閉包,記作或
容易看出,(注意:與x∈d(A)的區別)
定理2.4.4 拓撲空間X的子集A是閉集的充要條件是A=
證明:定理成立是因爲:集合A爲閉集當且僅當d(A)A而這又當且僅當A=A∪d(A)
定理2.4.5 設X是一個拓撲空間,則對於任意A,B∈X,有：
證明（1）成立是由於是閉集．
（2）成立是根據閉包的定義．
（3）成立是因爲
（4）成立是因爲
＝A∪d（A）∪d（d（A))
＝A∪d（A）=
在第（3）條和第（4）條的證明過程中我們分別用到了定理
2.4.l中的第（3）條和第（4）條．
定理2.4.6 拓撲空間X的任何一個子集A的閉包都是閉集．
證明根據定理2.4.4和定理2.4.5（4）直接推得．
定理2.4.7 設X是一個拓撲空間，F是由空間X中所有的閉某構成的族，則對於X的每一個子集A，有
即集合A的閉包等於包含A的所有閉集之交．
證明 因爲A包含於，而後者是一個閉集，由定理
2.4.5(4)與定理2.4.4
有
另一方面，由於是一個閉集，並且，所以
(“交”包含於形成交的任一個成員)
綜合這兩個包含關係，即得所求證的等式．
由定理2.4.7可見，X是一個包含着A的閉集，它又包含於任何一個包含A的閉集之中，在這種意義下我們說：一個集合的閉包乃是包含着這個集合的最小的閉集．
在度量空間中，集合的凝聚點，導集和閉包都可以通過度量來刻畫．
定義2.4.5 設（X，ρ)一個度量空間．X中的點x到X的非空子集A的距離ρ（x，A）定義爲
ρ（x，A）＝inf{ρ（x，y）|y∈A}
根據下確界的性質以及鄰域的定義易見：ρ（x，A）＝0當且僅當對於任意實數ε＞0，存在y∈A使得ρ（x，y）＜ε，換言之即是：對於任意B（x，ε）有B（x，ε)∩A≠，而這又等價於：對於x的任何一個鄰域U有U∩A≠，應用以上討論立即得到．
定理2.4.9 設A是度量空間（X，ρ）中的一個非空子集．則
（1）x∈d（A）當且僅當ρ（x，A-{x}）=0；
（2）x∈當且僅當ρ（x，A）＝0．
以下定理既爲連續映射提供了等價的定義，也爲驗證映射的連續性提供了另外的手段．
定理2.4.10 設X和Y是兩個拓撲空間，f:X→Y．則以下條件等價：
（l）f是一個連續映射；
（2）Y中的任何一個閉集B的原象(B)是一個閉集；
（3）對於X中的任何一個子集A，A的閉包的象包含於A的象的閉包，即
；
(4)對於Y中的任何一個子集B，B的閉包的原象包含B的原象的閉包，即
．
證明 （1）蘊涵（2）．設BY是一個閉集．則 是一個開集，因此根據（1），是X中的一個開集，因此
(B)是X中的一個閉集．
(2)蘊涵（3）設AX．由於f（A），
根據（2），成立．
(3)蘊涵(4)設AY集合(B)X應用（3）即得
（4）蘊涵（l）．設U是Y中的一個開集．則是Y中的一個閉集．對此集合應用（4）
可見:
．
總結一下,到目前爲止,證明映射連續的方法有幾種?證明一個子集是開集,閉集的方法有幾種?如何證明一個點是某個子集的凝聚點?