第3章 子空間（有限）,積空間，商空間
在這一章中我們介紹通過已知的拓撲空間構造新的拓撲空間的三種慣用的辦法．爲了避免過早涉及某些邏輯上的難點，在§3.2中我們只討論有限個拓撲空間的積空間，而將一般情形的研究留待以後去作．
§3.1 子空間
本節重點：掌握度量子空間、拓撲空間子空間的概念，子空間的拓撲與大空間拓撲之間的關係以及子空間的閉集、鄰域、基、導集、閉包與大空間相應子集之間的關係及表示法．
討論拓撲空間的子空間目的在於對於拓撲空間中的一個給定的子集，按某種“自然的方式”賦予它一個拓撲使之成爲一個拓撲空間，以便將它作爲一個獨立的對象進行考察．所謂“自然的方式”應當是什麼樣的方式？爲回答這個問題，我們還是先從度量空間做起，以便得到必要的啓發．
考慮一個度量空間和它的一個子集．欲將這個子集看作一個度量空間，必須要爲它的每一對點規定距離．由於這個子集中的每一對點也是度量空間中的一對點，因而把它們作爲子集中的點的距離就規定爲它們作爲度量空間中的點的距離當然是十分自然的．我們把上述想法歸納成定義：
定義3.1.1 設（X，ρ）是一個度量空間，Y是X的一個子集.因此，Y×YX×X．顯然：Y×Y→R是Y的一個度量（請自行驗證）．我們稱Y的度量，是由X的度量ρ誘導出來的度量.度量空間（Y，ρ）稱爲度量空間（X，ρ）的一個度量子空間．
我們常說度量空間Y是度量空間X的一個度量子空間，意思就是指Y是X的一個子集，並且Y的度量是由X的度量誘導出來的．我們還常將一個度量空間的任何一個子集自動地認作一個度量子空間而不另行說明．例如我們經常討論的：實數空間R中的各種區間（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1維歐氏空間中的
n維單位球面:
n維單位開、閉球體:
以及n維單位開、閉方體 和等等，並且它們也自然被認作是拓撲空間（考慮相應的度量誘導出來的拓撲）．
定理3.1.1 設Y是度量空間X的一個度量子空間．則Y的子集U是Y中的一個開集當且僅當存在一個X中的開集V使得U＝V∩Y．
證明 由於現在涉及兩個度量空間，我們時時要小心可能產生的概念混淆．對於x∈X（y∈Y），臨時記度量空間X（Y）中以x（y）爲中心以ε＞0爲半徑的球形鄰域爲 ，.
首先指出：有=∩Y.
這是因爲z∈X屬於當且僅當z∈Y且(z,y)<ε.
現在設U∈，由於Y的所有球形鄰域構成的族是Y的拓撲的一個基，U可以表示爲Y中的一族球形鄰域，設爲A的並．於是
設，∴U=V∩Y
另一方面，設U＝V∩Y，其中V∈．如果y∈U，則有y∈Y和y∈V．,有
按照定理3.1.1的啓示，我們來逐步完成本節開始時所提出的任務．
定義3.1.2 設A是一個集族，Y是一個集合．集族{A∩Y|A∈A}稱爲集族A在集合Y上的限制，記作
引理3.1.2 設Y是拓撲空間（X，T)的一個子集．則集族 是Y的一個拓撲．
證明 我們驗證滿足拓撲定義中的三個條件：
（1）由於X∈T和Y=X∩Y，所以Y∈；由於∈T,=∩Y,所以∈
（2）如果A，B∈，即
於是
（3）如果是集族的一個子集族，即對於每一個A∈，
定義3.1.3 設Y是拓撲空間（X，T）的一個子集．Y的拓撲稱爲（相對於X的拓撲T而言的）相對拓撲；拓撲空間（Y，，）稱爲拓撲空間的一個（拓撲）子空間．
我們常說拓撲空間Y是拓撲空間X的一個子空間，意思就是指Y是X的一個子集，並且Y的拓撲就是對於X的拓撲而言的相對拓撲．此外，我們也常將拓撲空間的子集認爲是一個子空間而不另行說明．
假設Y是度量空間X的一個子空間．現在有兩個途徑得到Y的拓撲：一是通過X的度量誘導出Y的度量，然後考慮Y的這個度量誘導出來的拓撲；另一是先將X考慮成一個拓撲空間，然後考慮Y的拓撲爲X的拓撲在Y上引出來的相對拓撲．事實上定理3.1.1已經指出經由這兩種途徑得到的Y的兩個拓撲是一樣的．下面把這層意思重新敘述一遍．
定理3.1.3 設Y是度量空間X的一個度量子空間．則X與Y都考慮作爲拓撲空間時Y是X的一個（拓撲）子空間．
定理3.1.4 設X，Y，Z都是拓撲空間．如果Y是X的一個子空間，Z是Y的一個子空間，則Z是X的一個子空間．
證明 當Y是X的一個子空間，Z是Y的一個子空間時，我們有；並且若設T爲X的拓撲時，Z的拓撲是（）={U∩Y|U∈T} ={U∩Y∩Z|U∈T}={U∩Z|U∈T}=
因此Z是X的一個子空間．
定理3.1.5 設Y是拓撲空間X的一個子空間，y∈Y．則
（l）分別記T和爲X和Y的拓撲，則=；
（2）分別記F 和爲X和Y的全體閉集構成的族，則 = ；
（3）分別記和y爲點y在X和Y中的鄰域系，則y= ．
證明（1）即是子空間和相對拓撲的定義．
（2）成立是因爲：={(X-U)∩Y|U∈T}={Y-U∩Y|U∈T}=
（3）設則，因此存在使得V＝∩Y,令
,由於並且
＝V∪U＝U
所以U∈.以上證明．類似的論證指出
定理3.1.6 設Y是拓撲空間X的一個子空間，A是Y的一個子集．則
（1）A在y中的導集是A在X中的導集與Y的交；
（2）A在Y中的閉包是A在X中的閉包與Y的交．
證明 爲證明這個定理，我們仍分別記A在X中的導集和閉包爲d（A）和；而記A在Y中的導集和閉包分別爲 （A）和（A）．
（l）一方面，設y∈（A）．則對於y在X中的任何一個鄰域U，根據定理3.1.5，U∩Y是y在Y中的一個鄰域，所以因此y∈d（A）．此外當然有y∈Y．所以y∈d(A)∩y．這證明(A)d（A）∩Y．
另一方面，設y∈d(A)∩Y,
所以y∈(A)．這證明d（A）d（A）∩Y．
（2）成立是因爲(A)=A∪(A)=A∪(d(A)∩Y)=(A∪d(A))∩(A∪Y)=∩Y
定理3.1.7 設Y是拓撲空間X的一個子空間，y∈Y．則
（1）如果B是拓撲空間X的一個基，則是子空間Y的一個基；
（2）如果是點y在拓撲空間X中的一個鄰域基，則是點y在子空間Y中的一個鄰域基．
證明（1）設B是X的一個基．對於Y中的任何一個開集U，存在X中的一個開集V使得U=V∩Y；存在B的一個子族,使得V＝．因此U＝由於上式中的每一個B∩Y是中的一個元素，所以在上式中U已經表示成了中的某些元素之並了．因此是Y的一個基．
（2）證明（略）．
“子空間”事實上是從大拓撲空間中“切割”出來的一部分．這裏有一個反問題，概言之就是：一個拓撲空間什麼時候是另一個拓撲空間的子空間？換言之，一個拓撲空間在什麼條件下能夠“鑲嵌”到另一個拓撲空間中去？當然假如我們拘泥於某些細節，例如
涉及的拓撲空間是由什麼樣的點構成的，那麼問題會變得十分乏味,然而我們在§2．2中便提到過，拓撲學的中心任務是研究拓撲不變性質，也就是說我們不去着意區別同胚的兩個拓撲空間．在這種意義下，以上問題可以精確地陳述如下：
定義3.1.4 設X和Y是兩個拓撲空間，f:X→Y．映射f稱爲一個嵌入，如果它是一個單射，並且是從X到它的象集f(X)的一個同胚．如果存在一個嵌入f: X→Y，我們說拓撲空間X可嵌入拓撲空間Y．
事實上，拓撲空間X可嵌入拓撲空間Y意思就是拓撲空間X與拓撲空間Y的某一個子空間同胚．換言之，在不區別同胚的兩個拓撲空間的意義下，X“就是”Y的一個子空間．
不能嵌入的一個簡單例子是，一個離散空間，如果它含有多於一個點，就決不可能嵌入到任何一個平庸空間中去；反之，一個平庸空間，如果它含有多於一個點，也決不可能嵌入到任何一個離散空間中去．歐氏平面中的單位圓周是否可以嵌入到實數空間（即直線）中去呢？這個問題我們到第四章中再作處理．本書中我們還會涉及一些比較深刻的嵌入定理．
本節關鍵:掌握拓撲空間中的子集(這裏稱爲子空間)的開集、閉集、閉包、導集”長”得什麼模樣．