01揹包問題之HDU——2602 Bone Collector

<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; background-color: rgb(255, 255, 255);">01揹包問題：</span>

01揹包問題是說有一個重量爲w的包，有n個物體，第i個物體的重量是w[I],價值是V[I]，每個物體最多隻能拿一次，每個物體只有一個，怎樣儘可能地裝滿包，使得價值最大，並且總的體重不超過w；

 

分析：之所以稱爲01揹包是因爲物體可以拿也可以不拿。那麼分析一下狀態，我們需要知道取了第幾個物體，以及此時的揹包大小最多可裝多少價值的物體。

dp[i][j]:i表示取到第i個物體；j表示揹包容量爲j；dp[i][j]表示最大價值。

狀態轉移：取到第i個物體揹包容量可以裝下時，我們可以要，也可以不要，什麼時候要這個物體？

————>當要第i個物體時：dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]；（爲什麼是j-w[i]？模擬一下揹包放物體的過程我們就知道，當要放第i個物體時，揹包容量就爲j-w[i]，剩餘揹包儘可能多地裝前面i-1個物體。）

————>當第i個物體不裝時，那麼dp[i][j]=dp[i-1][j];

取兩者中的最大值。得到的便是最優解。

例題：

Bone Collector

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 29060    Accepted Submission(s): 11871

Problem Description

Many years ago , in Teddy’s hometown there was a man who was called “Bone Collector”. This man like to collect varies of bones , such as dog’s , cow’s , also he went to the grave …
The bone collector had a big bag with a volume of V ,and along his trip of collecting there are a lot of bones , obviously , different bone has different value and different volume, now given the each bone’s value along his trip , can you calculate out the maximum of the total value the bone collector can get ?

 

Input

The first line contain a integer T , the number of cases.
Followed by T cases , each case three lines , the first line contain two integer N , V, (N <= 1000 , V <= 1000 )representing the number of bones and the volume of his bag. And the second line contain N integers representing the value of each bone. The third line contain N integers representing the volume of each bone.

 

Output

One integer per line representing the maximum of the total value (this number will be less than 2³¹).

 

Sample Input

1 5 10 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1

 

Sample Output

14

 

Author

Teddy

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1005;
int dp[maxn][maxn];
int va[maxn];
int w[maxn];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        int n,v;
        scanf("%d%d",&n,&v);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&va[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&w[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=0;j<=v;j++)
            {
                if(j<w[i])
                    dp[i][j]=dp[i-1][j];//如果揹包的容量比第i個物體小，放不下這個物體，相當於不放。
                else
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+va[i]);//狀態轉移。
            }
        }
        printf("%d\n",dp[n][v]);
    }
}

優化如下：

由於當更新到第i個物體是否可放時，我們只需要用到第i-1個物體的狀態，因此只需要用一個一維數組記錄揹包爲j時的最大價值，但是要注意要從最大容量更新，因爲我們會用到前面小容量的值，從小容量更新會破壞原始數據。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1005;
int dp[maxn];//容量爲j的揹包能放的最大價值
int va[maxn];
int w[maxn];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        int n,v;
        scanf("%d%d",&n,&v);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&va[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&w[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=v;j>=w[i];j--)//j從最大更新，只需要更新到w[i]，因爲當揹包裝不下i時無需更新，已經是最大了。
            {
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+va[i]);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[v]);
    }
}