擴展歐幾里德算法

歐幾里德算法 (輾轉相除法)

ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(b) return gcd(b,a%b);
    return a;
}

衍生：擴展歐幾里德
原理 : 定義 ax+by=gcd(a,b)*k 一定會有解
所以公式變形爲 ax+by=d gcd(a,b)|d d能整除gcd(a,b)

ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll g=ex_gcd(b,a%b,x,y),t;
    t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return g;
}

實際應用 : 已知a,b求一組解滿足ax+by=gcd(a,b);
求x於y的所有解 x=x0+(b/d)*t; y=y0-(a/d)*t;

ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll g=ex_gcd(b,a%b,x,y),t;
    t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return g;
}
int main()
{
    ll a,b,x,y,d;
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    d=ex_gcd(a,b,x,y);
    printf("a*(%lld) + b*(%lld)= %lld\n",x,y,d);
}