【持續更新】莫比烏斯反演簡明教程

前言

開始學省選算法了……

感覺莫比烏斯反演好厲害的樣子，就先學習一下

一入反演深似海……

相關的東西太多了，以後會不定期更新

前置技能

莫比烏斯函數

莫比烏斯函數μ(n) 的定義如下：

設n=pk11⋅pk22…pkmm

μ(n)=⎧⎩⎨1(−1)m0n=1∏mi=1ki=1otherwise(ki>1)

顯然，μ(n) 是積性函數：μ(x)μ(y)=μ(xy),x⊥y

那麼我們就可以使用線性篩來得到μ(n) ：

void prepare(){
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=N;i++){
        if (!vis[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=N;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]==0) {mu[i*p[j]]=0;break;}
             else mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

狄利克雷卷積

定義：對於數論函數f(n) 和g(n) ，定義卷積運算∗ 爲：

(f∗g)(n)=∑d|nf(d)⋅g(nd)

狄利克雷卷積的單位元爲e(x)=[x=1]

任何數論函數f 滿足f∗e=f

定義函數I(x)=1 ，id(x)=x

則有：I∗μ=e

這說明μ 是I 的逆元

又有：φ∗I=id

那麼可以得到φ=id∗μ

莫比烏斯反演

對於f(n),g(n) 滿足：

f(n)=∑d|ng(d)

則有莫比烏斯反演：

g(n)=∑d|nf(d)μ(nd)

其實非常顯然，把命題換成狄利克雷卷積的形式就是：

已知f=g∗I ，求證g=f∗μ

根據I∗μ=e 直接證明了

應用

求gcd=k的個數

問題：求

∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=k]

這是莫比烏斯反演的入門題，非常經典

推導：

∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=k]⇒∑i=1⌊nk⌋∑j=1⌊mk⌋[gcd(i,j)=1]

然後套用莫比烏斯反演：

⇒∑i=1⌊nk⌋∑j=1⌊mk⌋∑d|(i,j)μ(d)⇒∑dμ(d)∑d|i∑d|j1⇒∑dμ(d)⌊nkd⌋⌊mkd⌋

然後就可以對⌊nkd⌋⌊mkd⌋ 分塊求和了

然後就可以在O(n√) 時間裏解決每次詢問（O(n) 預處理）

例題

YY的GCD

BZOJ2820

先考慮枚舉質數p，答案就是：

∑p∑dμ(d)⌊npd⌋⌊mpd⌋

設T=pd ，考慮枚舉T ，則有：

∑Tmin{n,m}⌊nT⌋⌊mT⌋∑p|Tμ(Tp)

如果能夠預處理∑p|Tμ(Tp) 關於T 的前綴和，前面的柿子就可以O(n√) 求解

其實可以暴枚p

因爲均攤每個質數是ln(n) 的，而質數的個數是nln(n) 個

所以預處理可以O(n)