CTU Open Contest 2019 F題 Beer Marathon（思維題）

題目描述

題目大意

       有n個點排成一排，給出了它們的位置座標，現在需要將它們按照相同的間隔k重新排列，問所有點需要移動的距離之和的最小值是多少？

分析過程

通過觀察，可以發現兩個小結論：

結論1   重新調整之後的排列至少存在一個位置與調整之前的相應位置重合。

可以用反證法證明：
       設原序列（升序排列之後的）集合爲A，我們假設已經獲得了一個滿足最優方案的序列集合B，若對於$\forall x\in A,\forall y\in B$均有$x\not=y$，此時，有3種情況：若A中的位置點 a_i 大部分位於其對應位置b_i的左側時，此時我們將B向左移動一個單位必然可以使得結果更優（左邊對減少距離的貢獻更大）；反之，向右移動更優，以上這兩種情況均與假設中的“最優方案”矛盾；若A中的位置點均勻的散佈在最優方案點的兩側，那麼此時我們必然可以通過移動B而使得A與B之間存在相交點。綜上所述，結論1得證。

結論2   由結論1的證明過程可以看出，在原序列中必然存在一個基準位置a_i，當將序列a₁,a₁+k,a₁+2k,…,a₁+(n-1)k 中的對應位置（即 a₁+(i-1)k）和 a_i 對齊時，此時序列A中的點相對於間隔爲k的序列的相應位置點來說，左右散佈是均勻的，此時我們就得到了最優方案，即題中所求。

       有了以上2個分析得到的結論做支撐之後，我們的問題就轉化爲了如何在原序列A中尋找基準位置。很顯然一個一個枚舉的時間複雜度是O(n²)，必然要TLE。通過觀察，我們發現，當把原序列A中的第一個位置作爲基準位置時（選別的位置也行，但選第一個最方便），我們從左到右遍歷一遍，將原序列A與標準序列a₁,a₁+k,a₁+2k,…,a₁+(n-1)k 分別作差。此時，差值處於中間的那個位置便是基準位置。（因爲此時該位置能夠均勻的將A序列各位置散佈在a₁,a₁+k,a₁+2k,…,a₁+(n-1)k 序列位置點的左右兩側）

       綜上，我們得到的做法爲：先將原序列x進行升序排列，與標準序列a₁,a₁+k,a₁+2k,…,a₁+(n-1)k 分別做差，最後找中間值確定基準位置，最後計算結果。時間複雜度爲$O(n\log n)$

附AC代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 1000;
ll x[maxn];
int main(){
	ll n,k,i,ans = 0;
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>k;
	for(i=1;i<=n;++i) cin>>x[i];
	sort(x+1,x+n+1);
	//判斷在左對齊的情況下，每個點和標準點的相對位置（求差），符號爲正說明在標準點右側，否則在左側 
	for(i=2;i<=n;++i){ 
		x[i] -= (i - 1) * k;
	}
	sort(x+1,x+n+1);
	ll mid = x[(1+n)/2];
	for(i=1;i<=n;++i) ans += abs(x[i] - mid);
	cout<<ans;
	return 0;
} 

Another Solution

       如上文所述，實際上標準排列a₁,a₁+k,a₁+2k,…,a₁+(n-1)k在原序列A中左右移動時，會使得總距離要麼向左邊方向增大，要麼向右邊方向增大，在其中間存在一個點取得最優方案。可以發現，這個總距離隨座標變化的圖像是一個單峯曲線。因此，我們也可以使用三分法求解該問題。