非線性方程的數值解法：二分法的MATLAB實現

非線性方程的數值解法之二分法：

• $摘要：$求解非線性方程$f(x)=0$的數值解主要有二分法、簡單迭代法以及$Newton$類迭代法等，本文主要介紹二分法及其MATLAB程序實現。

• $二分法介紹^{[1]}$
  假設已找到有根區間[$a$, $b$]，滿足$f(a)f(b)<0$，並且上述非線性方程在所給區間[$a$, $b$]上只有一個根。下面用簡單的方法形成有根區間的序列。先設$a_1= a$，$b_1 = b$，即[$a_1$, $b_1$] $=$ [$a$, $b$]，對於一般的區間[$a_n$, $b_n$]，設其中點爲$x_n$ $=$ $\dfrac{a_n+b_n}{2}$，若$f(x_n)=0$或者$\dfrac{b_n-a_n}{2}$$<\varepsilon$，其中$\varepsilon$爲根的容許誤差，則$x_n$即爲所求，否則檢驗$f(x_n)$的符號，若它與$f(a_n)$同號，就取$a_{n+1}=x_n$，$b_{n+1}=b_n$。反之，取$a_{n+1}=a_n$ ，$b_{n+1}=x_n$。這樣必定有$f(a_{n+1})f(b_{n+1})<0$，所以[$a_{n+1}, b_{n+1}$]就是新的有根區間。繼續上述過程即可。

• MATLAB$程序實現$

%Date:2019-10-28
%Writer:無名十三

%% 本程序目的是利用二分法輸出非線性方程的數值解
function result = dichotomy(fun,x1,x2,eps) %參數fun爲待輸入函數，eps爲容許誤差，示例如下文
if nargin ~= 4
    errordlg('輸入參數個數不符合要求！', 'Error!')  %參數輸入報錯
elseif fun(x1) * fun(x2) >= 0
    errordlg('二分法不能確定該區間內是否有根存在！', 'Warning!')
else
    is_eps = (x2-x1) / 2;
    x = (x2+x1) / 2;  
    while is_eps >= eps
        if fun(x) == 0
            fprintf('\n該方程的根爲%f.\n\n', x)
            break
        elseif fun(x1)*fun(x) < 0
            x2 = x;
        elseif fun(x2)*fun(x) < 0
            x1 = x;
        end
        is_eps = (x2-x1) / 2;
        x = (x2+x1) / 2;        
    end
    if is_eps < eps
        fprintf('\n該方程的近似根爲%f.\n\n', x)
    end
end
end
%%

• 示例1：求非線性方程$sin(x)=0$在區間[-0.7, 0.1]上的數值解。

>> dichotomy(@(x)sin(x), -0.7, 0.1, 0.0001)

該方程的近似根爲-0.000098.

• 示例2：求非線性方程$9x^3-13x+97=0$在區間[-11, 29]上的數值解。

>> dichotomy(@(x)(9*x^3 - 13*x + 97), -11, 29, 0.0001)

該方程的近似根爲-2.426163.

• $結束語：上述代碼根據本人理解進行整理編寫，如有錯誤或不妥之處，請指正！$

• $參考文獻$
  $[1] 黃雲清.數值計算方法[M].北京.科學出版社.2018年11月$