Codeforces 1278F Cards 二項分佈的期望 第二類斯特林降冪

題意：給定n,m,k對二項分佈 x~B(n,1/m)，求 E(x^k)

n,m<998244353,k<=5005

首先：E(x^k)!=(E(x))^k

思路：由期望公式得：

由第二類斯特林降冪得：（將i^k拆開，S(k,j)爲第二類斯特林數） 

交換求和順序：

化簡：( j>k時S(k,j)=0 所以枚舉到min(n,k)，然後後面將組合數拆開)

化簡：（令i=i+j）

化簡：（湊n-j的二項式展開，把p^j提出來）

我們代入k=1,E(x)=n*p 剛好是我們熟悉的二項分佈期望w

實現：我們分別預處理第二類斯特林數與n!/(n-j)!即可 (模998244353)   若k<=1e5有別的做法

import java.util.*;
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);

        //System.out.println(qmod(2,5,100));


        long S[][]=new long[5005][5005];
        long mod=998244353;
        S[1][1]=1;
        S[0][0]=0;
        for(int i=1;i<=5000;i++){
            S[i][i]=1;S[i][0]=0;
        }
        for(int i=2;i<=5000;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                S[i][j]=(S[i-1][j]*j%mod+S[i-1][j-1])%mod;
            }
        }
        long n=sc.nextLong();long m=sc.nextLong();int k=sc.nextInt();
        m=qmod(m,mod-2,mod);
        long dp[]=new long[5005];dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=Math.min(n,k);i++)dp[i]=dp[i-1]*(n-i+1)%mod;


        long ans=0;
        for(int i=1;i<=Math.min(n,k);i++){
            ans=(ans+dp[i]*qmod(m,i,mod)%mod*S[k][i]%mod)%mod;
        }
        System.out.println(ans);

    }
    public static long qmod(long a,long b,long mod){
        long ans=1;
        while(b>=1){

            if((b&1)!=0){
                ans=ans*a%mod;
            }
            a=a*a%mod;
            b=b>>1;
        }return ans;
    }
}