學習筆記 | 分析離散數據的數學

統計學就是從世間許許多多的偶然中提煉出規律，並且利用這些規律推測出總體情況的一門學問。

01 n!（n的階乘）的定義

n! = n×（n-1）×（n-2）× ... ×3×2×1

02 排列

考慮到順序的時候，被稱爲排列。

排列（從不同的n個單位中選出r個的排列）的一般式

03 組合

不考慮順序時被稱爲組合。

組合（從n個單位中選出r個的組合）的一般式

04 二項係數

(a+b)ⁿ的展開式中，a^n-kb^k的係數爲 $C^k_ {n}$ 。

二項定理

05 概率

試驗：一個可以反覆進行，並且結果具有偶然性的行爲。

例）擲骰子，拋硬幣。

樣本空間：在進行某個試驗時可能得到的所有結果的集合。

例）擲骰子時的樣本空間爲{1,2,3,4,5,6}。
例）拋硬幣時的樣本空間爲{正，反}。

事件：樣本空間的一部分（樣本空間的部分集合）

例）“結果爲偶數”是擲骰子這個試驗的一個事件。
例）“正面向上”是拋硬幣這個試驗的一個事件。

概率

對於某個試驗的樣本空間U={e₁, e₂, …, e_n}, e₁, e₂, …, e_n的每個要素都有可能發生，且當事件E中的要素有m個的時候，事件E的概率爲

以上定義可以寫作：

06 和事件與積事件

一般來說，如果一個試驗中有A與B兩個事件，

“A與B至少有一個事件發生”的事件被稱爲A與B的和事件，寫作A∪B；
而“A與B同時發生”的事件被稱爲積事件，寫作A∩B。

注：“∪”讀作“或”; “∩”讀作“且”。

和事件的概率P（A∪B）與積事件的概率P（A∩B）之間存在以下關係：
和事件與積事件的概率：
P（A∪B）= P(A) + P(B) - P(A∩B)

當文氏圖如下所示的時候:

P（A∩B）=0

類似於這種A與B之間，其中一方發生時另一方不可能發生的情況，A與B之間被稱爲相互排斥。

具體可以用以下式子表達：
A與B互相排斥時和事件的概率：P（A∪B）= P（A）+ P（B）

07 獨立試驗

關於兩個試驗S與T，一個試驗的結果與另一個試驗的結果沒有關係時，我們就說S與T是獨立試驗。
一般來說，當試驗S與T相互獨立時，S中發生事件A且T中發生事件B的概率P（A∩B）可以做如下計算：
獨立試驗積事件的概率：P（A∩B）= P（A）× P（B）
舉例：有放回的兩次試驗。

08 重複試驗

假設，在某項重複試驗中，事件A發生的概率爲P(A) = p（0 ≤ p ≤ 1）
此試驗反覆n次，事件A發生k次的概率爲： $C^k_ {n}$ (1-p)^n-k (0≤k≤n)

09 等差數列

等差數列的一般項：a_n = a₁ +（n-1）d
（a1爲首項，d爲公差）
等差數列的和，關於等差數列a_n，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，則

10 等比數列

等比數列的一般項，a_n = a₁r^n-1
（a爲首項，r爲公比）
等比數列的和，關於等比數列a_n：
S_n = a₁+a₂+a₃+…+a_n = a₁ + a₁r + a₁r² + … + a₁r^n-2 + a₁r^n-1，則

S_n = na₁（r=1時）

11 ∑記號的定義

12 隨機變數與概率分佈

爲了將現實中發生的各種事情可計算化，就必須將各種事物數值化，且作爲變數來處理。而這種將變數與概率結合的方法就叫作 “隨機變數”。
而隨機變數X的值與概率P的對應關係，被稱爲概率分佈。
只取“間隔較大”值的隨機變數被稱爲“離散型隨機變量概率分佈”。

隨機變數與概率分佈

類似於下表中的X，對應每個值的概率都一定的變數被稱作隨機變數。

此時：0 ≤ p1, p2, p3, …, pn ≤ 1 且 p1+p2+p3+…+ pn = 1 … ①
如上表，將隨機變數可以取的值與其概率一一對應起來表示的方法被稱爲概率分佈。概率分佈也可以用圖形來表示。

期待值 | 平均值

對於上表分佈的隨機變數X來說，其方差V(X)與標準差s(X)定義如下

aX + b的平均值

當隨機變數X與Y之間存在以下關係時：Y = aX+b（a, b爲定數）
則以下關係成立： E(Y) = E(aX+b) = aE(X) + b …③

aX+b的方差與標準差

在隨機變數X與Y之間如果存在以下關係：Y=aX+b（a、b爲定數）
則Y的方差V（Y）與標準差s（Y）如下所示：
V（Y）= a²V（X）…⑧
s（Y）= as（X）…⑨
因爲方差與標準差是以平均值（期待值）爲基準來表示數據離散程度的，所以在原來的隨機變數X的基礎上加上b（定數）是沒有影響的。

13 隨機變數的標準化

用隨機變數X得出以下隨機變數Z。這被稱爲隨機變數的標準化。

14 和的平均值

對於隨機變數X1、X2、X3、…、Xn
E（X1+X2+X3+…+Xn）= E（X1）+ E（X2）+ E（X3）+…+ E（Xn）…⑱

15 積的平均值

當隨機變數X與Y相互獨立時，E（XY）= E（X）E（Y）…⑳

16 和的方差

隨機變數X1、X2、X3、…、Xn相互獨立時：
V（X1+X2+X3+…+Xn）= V（X1）+V（X2）+V（X3）+…+V（Xn）…㉕

V（X+Y）=E[（X+Y）2] - [E（X+Y）]2

17 二項分佈

離散數據分佈，也就是非常重要的二項分佈。
一般來說，成功概率爲p的實驗，獨立重複n次後的成功次數爲X的概率分佈，被稱爲關於發生概率爲p、次數爲n的二項分佈。

[p爲滿足條件0＜p＜1的定數] 此概率分佈被稱作關於發生概率爲p、次數爲n的二項分佈，用符號表示，寫作：B（n, p）。