2020.02.12日常總結兼狀壓dp略講（上）

$\color{green}{\text{狀壓dp}}$

狀壓dp是一種很重要的$\text{dp}$，其基本思路是利用二進制，簡化我們狀態的定義。

爲了更好的理解狀壓，我們需要先來看看C++中的二進制運算：

• &：二進制按位與運算符，格式爲a&b，如果$a$和$b$的二進制的同一位置上的數碼都是$1$，那麼答案的該位數碼也是$1$，否則就是$0$。例如，$(3)_{10} \& (6)_{10}=(011)_2 \& (110)_2=(010)_2=(2)_{10}$。
• |：二進制按位或運算符，格式爲a|b，如果$a$和$b$的二進制的同一位上的數碼都是$0$，那麼答案的該位數碼也是$0$，否則就是$1$。例如：$(6)_{10} | (12)_{10}=(0110)_2 | (1100)_2=(1110)_2=(14)_{10}$。
• <<：這不是輸出的符號嗎？其實它還有另一個意思：左移運算符。格式：a<<b。就是把一個數的二進制的最高的$b$位刪了，在最低位加上$b$個$0$，例如$(3)_{10}<<1=(011)_2=(110)_2=(6)_{10}$。由此可見，一般而言，$a<<b=a \times 2^b$，只不過運算使得更快。
• >>：它與左移運算符類似，叫右移運算符，操作和左移差不多，只不過是把最低的$b$位刪了，在最高位加上$b$個$0$而已，一般而言，$a>>b=\lfloor \dfrac{a}{2^b} \rfloor$。
• ^：二進制按位異或運算符，格式爲a^b，如果$a$和$b$二進制的同一位不同時爲$1$或$0$，那麼答案的該位就是$1$，否則爲$0$，例子就不舉了，值得一提的是，$a | b-a \& b= a$ ^ $b$。

今天，我們就講到這裏，明天我們再講。

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$\color{green}{\text{例題——洛谷P2157\ \ \ 學校食堂}}$

$\color{blue}{【題目鏈接】：}$ 題目鏈接

$\color{blue}{【思路】：}$ 記$f(i,j,k)$表示第$i-1$個人已經打完飯，第$i$到第$i+7$個人是否打完飯的狀態爲$j$，且上一個打飯的人是$i+k$的最小花費。轉移看代碼。

$\color{blue}{【代碼】：}$

int f[1010][16][300];
int T[1010],B[1010],n;
int test_number,inf;
inline int cost(int a,int b){
	return (T[a]|T[b])-(T[a]&T[b]);
}
void ckmin(int &a,int b){a=min(a,b);}
int main(){
	freopen("t1.in","r",stdin);
	scanf("%d",&test_number);
	while (test_number--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			scanf("%d%d",&T[i],&B[i]);
		memset(f,127,sizeof(f));
		inf=f[1][1][1];f[1][7][0]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=0;j<256;j++)
				for(int k=-8;k<=7;k++)
					if (f[i][k+8][j]!=inf){
						if (j&1) ckmin(f[i+1][k+7][j>>1],f[i][k+8][j]);
//						如果第i個人已經打完飯了，直接轉移至下一個人
						if ((j&1)==0){//第i個人沒吃 
							register int lir=inf;
							for(int h=0;h<=7;h++)
								if (!((j>>h)&1)){
									if (i+h>lir) break;
									ckmin(lir,i+h+B[i+h]);
									ckmin(f[i][h+8][j|(1<<h)],f[i][k+8][j]+(i+k?cost(i+k,i+h):0));
								}
						} 
					}
		register int res=inf;
		for(int k=-8;k<=0;k++)
			res=min(res,f[n+1][k+8][0]);
		printf("%d\n",res);
	}
	return 0;
}