王道機試 第十二章 動態規劃 12.5 揹包問題（0-1揹包，完全揹包，多重揹包）

王道機試 第十二章 動態規劃 12.5 揹包問題

1、0-1揹包

0-1揹包的關鍵特點：每種物品至多選一次），要麼選要麼不選（0/1次）。

例題12.7 點菜問題（北京大學複試上機題）

• 注意事項
• 揹包數組的範圍——和容量C相關，定義maxm=C+5
• 內層循環倒序
  原因：
  0-1揹包問題的原始DP方程爲$dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i] + v[i]])$。由此可知，在第$i$輪更新$dp[i][j]$時，使用的是第$i - 1$輪的$dp[i - 1][j - w[i]]$的數值。即：在第$i$輪必須先更新$dp[i][j]$，然後才輪到$dp[i - 1][j - w[i]]$更新，因此必須讓$j$倒序遞減循環，以保障更新順序。

0-1揹包問題的C++核心代碼如下：

• 初始化：

const int maxm = 1005; // 揹包容量+5
int dp[maxm]; // dp數組
memset(dp, 0, sizeof(dp)); // 初始值

• 遞推（內層循環倒序）：

for (int i = 1; i <= n; i++){
			for (int j = C; j >= w[i]; j--){
				dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
			}
		}

• 結果輸出

cout << dp[C] << endl; // C爲揹包容量

本問題的完整C++代碼如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 105;
const int maxm = 1005;
int dp[maxm]; 
int w[maxn], v[maxn]; // 重量，價值

int main()
{
	int C, n;
	while (cin >> C >> n){
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		for (int i = 1; i <= n; i++){
			cin >> w[i] >> v[i];
		}
		for (int i = 1; i <= n; i++){
			for (int j = C; j >= w[i]; j--){
				dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
			}
		}
		cout << dp[C] << endl;
	}	
	return 0;
}