王道機試 第十二章 動態規劃 12.1遞推求解

王道機試 第十二章 動態規劃 12.1遞推求解

12.1 遞推求解

例題12.1 N階樓梯上樓問題（華中科技大學複試上機題）

• 動態規劃思路

（1）第一步

• 設變量，求什麼設什麼。
• 題目希望求出到達$N$階臺階的方案書，則令$dp[i]$表示到達第i階臺階的所有方案數。

（2）第二步

• 推導遞推方程。
• 考察數列${a}_n(n \geq 1)$每一項的關係。
• 由題意知，從第$i$階臺階可到達第$i+1$階臺階或者第$i+2$階臺階。則第$n$級臺階($n \geq 3$)的方案數$a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2}$，即$dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]$。

（3）第三步

• 確定初始值
• 由於$a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2}$，且$n \geq 3$，故而我們需要求出數列的前兩項$a_1$和$a_2$，從而根據初始值和遞推方程，最終計算出$a_n$。
• 顯然，$a_1 = 1$, $a_2 = 2$。

C++代碼如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 105;
long long dp[maxn]; // 到達第k階臺階的方案數（求什麼設什麼）

int main()
{
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	dp[1] = 1; dp[2] = 2; // 初始化，計算n=1和n=2的情況
	for (int i = 3; i < maxn; i++){
		dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; // 上到第i階臺階，其上一步的位置可能在i-1臺階（上一個臺階），或i-2臺階（上兩個臺階）
	}

	int n;
	while (cin >> n){
		cout << dp[n] << endl;
	}
	return 0;
}

習題12.1 喫糖果（北京大學複試上機題）

• 思路
• 和例題12.1 N階樓梯上樓問題變量、初始值、遞推方程完全一致。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn = 25;
int dp[maxn]; // 第k天喫完糖果的方案數

int main()
{
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	dp[1] = 1; dp[2] = 2; // 初始值
	for (int i = 3; i < maxn; i++){ // 遞推方程
		dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
	}
	int n;
	while (cin >> n){
		cout << dp[n] << endl;
	}
	return 0;
}