離散對數和BSGS算法

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離散對數：

考慮方程：a^x≡b(mod p)，其中a與p互質，求最小正整數x使得方程成立。
這樣的x稱爲離散對數，可以寫爲log_ab(mod p)

BSGS算法：

a^x≡b(mod p)

設x=i*m-j，其中m=⌈√p⌉，則原方程變爲：a^i*m-j≡b(mod p)

移項得：(a^m)ⁱ≡ba^j(mod p)

1.從0到(m-1)枚舉j，把ba^j存入哈希表中

2.從1到m枚舉i，查詢(a^m)ⁱ是否在哈希表中，如果在則i*m-j就是最小答案。

其他：

1.爲什麼m取⌈√p⌉?
首先根據費馬小定理可推出降冪式子：a^k%(p-1)≡a^k(mod p)，其中a與p互質
原式爲a^x≡b(mod p)，即a^x%p=b%p，通過降冪式可轉化爲a^x%(p-1)%p=b%p
式子x%(p-1)，當x等於p-1的時候和x等於0的時候結果相同，p的時候和1的時候相同，
因此枚舉x的話只需要枚舉0到p-2，姑且當作枚舉到p。
因此x=i*m-j<=p，令m=⌈√p⌉，那麼i最大枚舉⌈√p⌉，j最大枚舉⌈√p⌉，這樣每個枚舉都是O(⌈√p⌉)，總複雜度也是O(⌈√p⌉)

2.對於不同的j，ba^j%p可能相同，當相同的時候，在哈希表中存大的j，因爲要使得i*m-j儘可能小，則j要儘可能大。

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P3846 [TJOI2007]可愛的質數 (BSGS模板)

題意：

給定一個質數p，一個整數b，一個整數n，要求計算出一個最小的L，滿足b^L≡n(mod p)
如果無解則輸出no solution

思路：

BSGS模板

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int bsgs(int a,int b,int p){
    //if(a%p==0)return -1;
    unordered_map<int,int>mark;
    int m=ceil(sqrt(p*1.0));
    int now=1;//(a^j)
    for(int j=0;j<=m-1;j++){
        int temp=b*now%p;//b*(a^j)
        mark[temp]=j;
        now=now*a%p;
    }
    int t=now;//a^m,直接用上面的結果now，這樣就不用寫快速冪了
    now=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        now=now*t%p;
        if(mark.count(now))return (i*m-mark[now]+p)%p;
    }
    return -1;
}
signed main(){
    int p,b,n;
    cin>>p>>b>>n;
    int ans=bsgs(b,n,p);
    if(ans!=-1){
        cout<<ans<<endl;
    }else{
        cout<<"no solution"<<endl;
    }
    return 0;
}

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