因子數與因子和

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唯一分解：

n=p₁^k2p₁^k2…p_m^km

因子數：

n的因子數即n的因子個數

考慮n的每個質因子p^k，因爲在n的因子中p出現的次數有0到k這k+1種可能，則：
因子數=(k1+1)(k2+1)(k3+1)…(km+1)

因子和：

n的因子和即n的所有因子的和

因子和=(1+p₁+p₁²+…p₁^k1)(1+p₂+p₂²+…p₂^k2)…(1+p_m+p_m²+…p_m^km)

可以用牛頓二項式證明。

把裏面的每一個乘積項用等比數列轉換一下，則：
因子和=[(p₁^k1+1-1)/(p₁-1)]…[(p_m^km+1-1)/(p_m-1)]

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hdu1215 七夕節

題意：

給定n，計算n的因子和(n本身不算在內)

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int ppow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=ans*a;
        }
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int cal(int p,int k){
    return (ppow(p,k+1)-1)/(p-1);
}
signed main(){
    int T;
    cin>>T;
    while(T--){
        int n;
        cin>>n;
        int nn=n;
        int ans=1;
        for(int i=2;i*i<=n;i++){
            if(n%i==0){
                int cnt=0;
                while(n%i==0)n/=i,cnt++;
                ans*=cal(i,cnt);
            }
        }
        if(n!=1)ans*=cal(n,1);
        ans-=nn;//不包括自己,所以減掉
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

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hdu1452 Happy 2004

題意：

給定x，要求計算出2004^x的因子和對29取模的結果

思路：

2004=2²3¹167¹
2004^x=2^2x3^x167^x
直接計算因子和就行了，因子和裏面的除法改成乘法逆元

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod=29;
int ppow(int a,int b,int mod){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1){
            ans=ans*a%mod;
        }
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int cal(int p,int k){
    return (ppow(p,k+1,mod)-1+mod)%mod*ppow(p-1,mod-2,mod)%mod;
}
signed main(){
    int x;
    while(cin>>x){
        if(!x)break;
        int ans=cal(2,2*x)*cal(3,x)%mod*cal(167,x)%mod;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

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