2020.04.18日常總結——dp狀態的設計

$\color{green}{\text{洛谷P1282\ \ \ \ \ 多米諾骨牌}}$

$\color{blue}{\text{【題意】：}}$

多米諾骨牌 有上下 $2$ 個方塊組成，每個方塊中有 $1-6$ 個點。現有排成行的 $n$ 個 多米諾骨牌。

上方塊中點數之和記爲 $S_1$，下方塊中點數之和記爲 $S_2$，它們的差爲 $|S_1-S_2|$。例如在下圖中，$S_1=6+1+1+1=9，S_2=1+5+3+2=11，|S_1-S_2|=2$。每個 多米諾骨牌 可以旋轉 $180°$，使得上下兩個方塊互換位置。 編程用最少的旋轉次數使多米諾骨牌上下 $2$ 行點數之差達到最小（即有 $2$ 個要求：第一要求爲上下點數之差的絕對值最小，第二是在滿足第一的條件下，翻轉的次數最少）。

對於圖中的例子，只要將最後一個多米諾骨牌旋轉 $180°$，可使上下 $2$ 行點數之差爲 $0$。

$\color{blue}{\text{【思路】：}}$

容易發現，dp 的狀態肯定要有一維來維護上下差的絕對值和翻轉次數，有幾種方法：

• 維護翻轉次數。但是對於這題而言，不能轉移。
• 直接維護差的絕對值。對於所有需要維護差的絕對值的題，它是通用的，但是因爲絕對值，轉移有點複雜（需要分類討論）。
• 因爲翻轉不會改變 $S_1+S_2$ 的值，即總和不變。因爲我們已經知道了和，於是我們知道 $S_1,S_2$ 中的一個後，就可以知道另一個，進而知道 $|S_1-S_2|$。

對於本題而言，我們自然而然會選擇第 $3$ 種方法。記 $f_{i-1,j}$ 表示考慮到第 $i$ 個 多米諾骨牌，$S_1=j$ 時最小的轉移次數。

即當前的 多米諾骨牌 的上面的數字爲 $a$，下面的數爲 $b$，則有轉移：

$f_{i,j}=\left \{ \begin{matrix} &f_{i-1,j-a} &j \geq a \\ &f_{i-1,j-b}+1 &j \geq b\end{matrix} \right \}$

上面的轉移表示當前的 多米諾骨牌 不翻轉，下面的表示翻轉。

初始化：所有的 $f_{i,j}=$ 無窮，$f_{1,b_1}=1,f_{1,a_1}=0$。特別地，如果 $a_1=b_1$，$f_{1,a_1}=0$。

時間複雜度和空間複雜度都是 $O(n^2)$。

$\color{blue}{\text{【代碼】：}}$

$\color{red}{\text{【AC代碼】：}}$

const int inf=0x3f3f3f3f;
int ansS,a[1100],b[1100],n;
int f[1050][6100],sum,ansT;
int main(){
	scanf("%d",&n);sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
		sum+=a[i]+b[i];//累計和 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=6*n;j++)
			f[i][j]=inf;//初始化 
	f[1][b[1]]=1;f[1][a[1]]=0;
//	以上兩句初始化需要注意順序 
	for(int i=2;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=6*n;j++){
			if (j>=a[i]) f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-a[i]]);
			if (j>=b[i]) f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-b[i]]+1);
		}
	ansS=ansT=inf;//儲存答案 
	for(int i=0;i<=sum;i++)
		if (f[n][i]!=inf){//有解 
			if (abs(i-(sum-i))<=ansS){
				ansS=abs(i-(sum-i));
				ansT=f[n][i];
			}
			else if (abs(i-(sum-i))==ansS)
				ansT=min(ansT,f[n][i]);
		}
	printf("%d",ansT);
	return 0;
}

$\color{red}{\text{【注意】：}}$

• 數組一定要開夠 $6 \times n$，因爲每個 多米諾骨牌 的數值最多爲 $6$，所以 $S_1$ 最多爲 $6\times n$。
• for(int j=0;j<=6*n;j++) 處，不能寫成 for(int j=0;j<=6*i;j++) ，因爲下一個 多米諾骨牌 的 $a,b$ 值我們不知道，可能需要用到第二維的值會大於 $6 \times i$，像代碼那樣寫最保險。