【Lintcode】189. First Missing Positive

題目地址：

https://www.lintcode.com/problem/first-missing-positive/description

給定一個數組，返回$(0,1,2,3,...)$中第一個未出現在數組中的數。

思路是，通過不停的交換，儘量將值爲$i$的數移到下標爲$i-1$的位置上去，然後從左到右掃描即可。舉例：對於$(3,4,-1,1)$，我們先把$3$交換到數組第$3$個位置上去，得到$(-1, 4, 3, 1)$，這樣$3$這個數字就歸位了，接下來$-1$沒有地方可以去，就直接略過，接下來把$4$交換到數組第$4$個位置上去，得到$(-1, 1, 3, 4)$，$4$已經歸位，再把換過來的$1$歸位，得到$(1, -1, 3, 4)$，接下來的掃描都不會產生交換。最後從左到右掃描看哪個數字沒出現即可。代碼如下：

public class Solution {
    /**
     * @param A: An array of integers
     * @return: An integer
     */
    public int firstMissingPositive(int[] A) {
        // write your code here
        if (A == null || A.length == 0) {
            return 1;
        }
    
        for (int i = 0; i < A.length; i++) {
        	// 這裏的while循環的意思是，如果A[i]代表的數字“應該”在的位置上的數字不等於A[i]，就將其換過去
            while (1 <= A[i] && A[i] <= A.length && A[A[i] - 1] != A[i]) {
                swap(A, A[i] - 1, i);
            }
        }
    
        for (int i = 0; i < A.length; i++) {
            if (A[i] != i + 1) {
                return i + 1;
            }
        }
        // 如果上面的for循環裏沒有return，說明每個數字都歸位了，
        // 那第一個missing的正數就是A.length + 1
        return A.length + 1;
    }
    
    private void swap(int[] A, int i, int j) {
        int tmp = A[i];
        A[i] = A[j];
        A[j] = tmp;
    }
}

時間複雜度$O(n)$，空間$O(1)$。

算法正確性證明：
設數組長度爲$l$，那麼在循環到某個位置時，做的swap的次數一定是有限的，且不會超過$l$，這是因爲每swap一次，就會有一個數字歸位，歸位後那個數字就不會再被swap到了，所以最多的情況就是數組每個位置都swap了一遍，也就是次數不超過$l$。所以while循環一定會退出，也就是說第一個for循環一定會在有限時間內結束。接下來第二個for循環遍歷到的第一個$A[i]\ne i+1$的數，說明$i+1$在這個數組中不存在，所以返回$i+1$。如果遍歷到末尾說明第一個missing正數是$l+1$。

時間複雜度證明：
只需注意到swap最多隻會執行不超過$l$次即可。因爲每swap一次都會使得一個數字歸位，而最多只能有$l$個數字歸位。