【Lintcode】383. Container With Most Water

題目地址：

https://www.lintcode.com/problem/container-with-most-water/description

給定一個數組$A$，代表擋板的高度，選定兩個擋板，兩個擋板中間的區域可以看成一個水的盛具，其容積等於較矮的擋板的高度乘以寬度。要求返回最大容積。

思路是對撞雙指針，同時更新得到的容積。每次移動指針的時候，都選擇能產生更優解的方式。例如，兩個指針分別是$l$和$r$，當$A[l]<A[r]$的時候，這個時候$r$左移並不會得到更好的解（因爲盛具高度沒變，但底變窄了），所以此時右移$l$；同理，當$A[l]>A[r]$的時候要左移$r$；而當$A[l]=A[r]$的時候則需要同時移動兩個指針。代碼如下：

public class Solution {
    /**
     * @param heights: a vector of integers
     * @return: an integer
     */
    public int maxArea(int[] heights) {
        // write your code here
        if (heights == null || heights.length == 0) {
            return 0;
        }
        
        int res = 0;
        int l = 0, r = heights.length - 1;
        while (l < r) {
            res = Math.max(res, (r - l) * Math.min(heights[l], heights[r]));
            if (heights[l] > heights[r]) {
                r--;
            } else if (heights[l] < heights[r]) {
                l++;
            } else {
                l++;
                r--;
            }
        }
        
        return res;
    }
}

時間複雜度$O(n)$，空間$O(1)$。

算法正確性證明：
數學歸納法。當數組長度爲$2$時顯然成立。當數組長度爲$n$的時候，由於當$A[l]<A[r]$的時候，左擋板是$l$的情況下的所有解都不可能超過$A[l](r-l)$，而$A[l](r-l)$已經更新在res裏了，所以不需要枚舉左擋板是$l$的情況了，將$l$右移一位後，就得到了相同的但規模更小的問題，由歸納假設，算法可以得到正確答案，再和$A[l](r-l)$比較一下即得到全局最優解。其他情況類似。

證明的本質是，將全局問題分爲兩類，即以$l$爲左擋板和不以$l$爲左擋板的兩類，然後分別的最優解合起來的更優解即爲全局最優解。