【Lintcode】840. Range Sum Query - Mutable

題目地址：

https://www.lintcode.com/problem/range-sum-query-mutable/description

給定一個數組，要求設計一個數據結構，支持區間和的查詢，以及單點修改。

樹狀數組（Fenwick Tree）是解決這個問題的經典數據結構。設原數組是$A$，樹狀數組類似於前綴和數組，可以以$O(\log n)$的時間計算出$A$的前$i$個數之和；但與前綴和數組不同的是，它可以以$O(\log n)$的時間做單點更新（樹狀數組裏的單點更新的意思是，將原數組的第$i$個位置的數增加$\Delta$，對應的樹狀數組做對應的更新），而對於前綴和數組來說，做單點更新的時候會花費$O(n)$的時間。具體可以參考https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/103870987。代碼如下：

public class NumArray {
    
    class FenwickTree {
        
        private int[] tree;
        
        public FenwickTree(int[] nums) {
        	// 樹狀數組和前綴和類似，需要開原數組長度多一個位置，
        	// 但多開一個位置的原因和前綴和數組不太一樣，它由樹狀數組本身的性質有關
            tree = new int[nums.length + 1];
            // 一開始樹狀數組對應的是元素全是0的數組，
            // 初始化的時候其實就是做若干次單點更新，即將每個數字加進去
            for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
                add(i + 1, nums[i]);
            }
        }
        
        // 單點更新，將原數組的第i個數（從1開始數）增加d
        public void add(int i, int d) {
            while (i <= tree.length - 1) {
                tree[i] += d;
                i += lowbit(i);
            }
        }
        
        // 求原數組前i個數的和（從1開始數）
        public int sum(int i) {
            int sum = 0;
            while (i > 0) {
                sum += tree[i];
                i -= lowbit(i);
            }
            
            return sum;
        }
        
        private int lowbit(int x) {
            return x & -x;
        }
    }
    
    FenwickTree tree;
    // 還需要把給定數組的引用存一下，
    // 目的是，在做update的時候需要知道相比原數組增加的d是多少
    int[] nums;
    
    public NumArray(int[] nums) {
        tree = new FenwickTree(nums);
        this.nums = nums;
    }
    
    public void update(int i, int val) {
    	// 將nums[i]更新爲val，等價於將nums[i]增加val - nums[i]，
    	// 對於樹狀數組來說，就是將第i + 1個數增加val - nums[i]，
    	// 同時需要將原數組也做相應的變化，以便於下一次對樹狀數組做add操作
        tree.add(i + 1, val - nums[i]);
        nums[i] = val;
    }
    
    public int sumRange(int i, int j) {
    	// 返回原數組的第i + 1個數到第j + 1個數之和
        return tree.sum(j + 1) - tree.sum(i);
    }
}

預處理時間$O(n\log n)$，區間和查詢和單點修改時間都是$O(\log n)$，空間$O(n)$。

註解：
類裏也可以不存原數組的引用，直接利用樹狀數組的sum方法也可以查到原數組某個位置的數，然後做update的時候就不需要更新原數組了。但這樣做的話時間會慢一點，因爲要多執行兩次sum操作。