P4071 [SDOI2016]排列計數(組合數學/錯位排列)

題目

T(T<=5e5)組樣例，每組給定兩個數n,m(1<=n,m<=1e6)

求有多少種 1到 n 的排列 a，滿足序列恰好有 m 個位置 i，使得 ai​=i。

答案對 1e9+7 取模。

思路來源

https://www.bilibili.com/video/BV1Pz41187Px

題解

C(n,m)取出恰好對應的位置，剩下n-m個就對應錯位排列的方案

錯位排列有以上遞推式，考慮n與k對應，共n-1種取法

①k與n對應，則n-2個元素內部錯位，D(n-2)

②k與n不對應，1到k-1不能對應1到k-1，k+1到n-1不能對應k+1到n-1

這就是n-1個元素的錯位排列，D(n-1)

有D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))

代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=2e6+10;
ll Finv[N],fac[N],inv[N],f[N];
ll n,m;
int t;
ll modpow(ll x,ll n,ll mod)
{
	ll res=1;
	for(;n;x=x*x%mod,n/=2)
	if(n&1)res=res*x%mod;
	return res;
}
void init(int n)//n<N
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=((mod-mod/i)*inv[mod%i])%mod;
	fac[0]=Finv[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)fac[i]=fac[i-1]*i%mod,Finv[i]=Finv[i-1]*inv[i]%mod;
	//Finv[n]=modpow(fac[n],mod-2,mod);
	//for(int i=n-1;i>=1;--i)Finv[i]=Finv[i+1]*(i+1)%mod;
}
ll C(ll n,ll m)
{
	if(m<0||m>n)return 0;
	return fac[n]*Finv[n-m]%mod*Finv[m]%mod;
}
int main()
{
    init(N-5);
    f[0]=1;f[1]=0;f[2]=1;
    for(int i=3;i<N;++i){
        f[i]=1ll*(i-1)*(f[i-1]+f[i-2])%mod;
    }
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        printf("%lld\n",C(n,m)*f[n-m]%mod);
    }
	return 0;
}