Monotonic Matrix Gym - 247727A

Monotonic Matrix Gym - 247727A
Count the number of n×m matrices A satisfying the following condition modulo (109+7).

• Ai,j∈{0,1,2} for all 1≤i≤n,1≤j≤m.

• Ai,j≤Ai+1,j for all 1≤i<n,1≤j≤m.

• Ai,j≤Ai,j+1 for all 1≤i≤n,1≤j<m.

Input
The input consists of several test cases and is terminated by end-of-file.

Each test case contains two integers n and m.

• 1≤n,m≤103
• The number of test cases does not exceed 105.

Output
For each test case, print an integer which denotes the result.

Example
Input
1 2
2 2
1000 1000
Output
6
20
540949876

一個矩陣，每一個位置可以填0,1,而且每個位置右面和下面的數字都要大於等於它的數字，求矩陣個數

• 可以畫出0,1和1,2的分界線，發現是從矩陣左下角到右上角的不相交的兩條線(可以重合)
• 這個問題就轉化成了：計算從矩陣左下角到右上角的不相交的兩條線(可以重合)的個數
• LGV定理求的是從n個起點到n個終點的不相交也不重合路徑的方案數
• 對於這題兩條線的起點是(n,0) (n,0)，終點是(0,m),(0,m),求不相交可重合的情況數；可以轉化成兩條線的起點是(n,0) (n-1,-1)，終點是(0,m),(-1,m-1),求不相交不重合的情況數
• 根據LGV定理，就是求行列式的值
  $\left| \begin{matrix} (a1,b1)&(a1,b2) \\ (a2,b1)&(a2,b2) \end{matrix} \right|$
• (a,b)代表從a點到b點的方案數，a1 = (n,0),a2 =(n-1,-1),b1 = (0,m),b2 = (-1,m-1)
• 結果爲C(n+m,n)*C(n+m,n)−C (n+m,n+1)∗C(n+m,m+1)
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e3+9;
const int mod =1e9+7;
long long dp[maxn][maxn];
void init()
{
    for(long long i = 1; i<=2000; i++)
    {
        dp[i][0] = dp[i][i] = 1;
        for(long long j = 1; j<i; j++)
        {
            dp[i][j] = (dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1])%mod;
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    ios::sync_with_stdio(false);
    long long n,m;
    while(scanf("%lld %lld",&n,&m)!=EOF)
    {
        long long ans = (dp[n+m][n]*dp[n+m][n]%mod-dp[n+m][m-1]*dp[n+m][n-1]%mod+mod)%mod;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}