離散餘弦變換的改進ffice
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鄧景仁（sgdjr2003）
2004年11月12日星期五
摘要：[/B]
關鍵詞：[/B]
1 前言[/B]
由於我還是高一新丁，文學底子很薄弱，對於一些技術方面的知識，我是有口說不出，無法用文字表達出來，因此這裏提供的知識只是我 所知道的1/4左右，還有3/4我不知該如何表達，特別是第三節“ 深入研究DCT”，我個人認爲簡直是淺入！
此文適合於那些對DCT或對Haar小波的Mallat算法有一定了解的人。
如果你只是菜鳥，不但想看懂此文，而且還要看懂其他的類似文章，那麼我教你一個最快的學習方法：
設 X={10,20}
分解的方法：低頻=10+20=30，高頻=10-20=-10，
即 Y={30,-10}
合併的方法：X(0)=(低頻+高頻)/2=(30+(-10))/2=10,X(1)=X(0)-高頻=10-(-10)=20
即 X={10,20}
只要搞清楚低頻和高頻是怎麼來的和如何合併的即可。
2 [/B]DCT[/B]簡介[/B]
DCT全名爲Discrete Cosine Transform，中文名爲離散餘弦變換。在衆人皆知的JPEG編碼中，就是使用了DCT來壓縮圖像的。爲什麼DCT可以壓縮圖像？我想這個問題有很多人都想知道，但其實這是錯誤的說法！因爲DCT在圖像壓縮中僅僅起到扶助的作用，給它n個數據，經變換後仍然會得出n個數據，DCT只不過消除了這n個數據的冗餘性和相關性。
即，用很少的數據就能大致還原出這n個數據，其他的一些DCT係數只起到修正的作用，可有可無。
DCT有一個缺點，就是計算量很大！因爲如果按照DCT的標準變換公式(二維)來實現8x8點陣的變換需要將近上萬次計算！後來提出了一種優化方法，即將二維的DCT分解爲兩個一維的DCT，這樣一來計算量就可以減少爲原來的1/4。但是計算量依然巨大，不具有使用價值，後來在1988年有人提出了一種快速算法叫AAN,它也是將二維的DCT分解成一維的形式，但是二維計算量已減少到只有600來次了，JPG和MPEG編碼中的DCT就是使用AAN算法實現的。
DCT還有一個缺點，就是不能無損變換，因爲DCT係數都是一些無理數，目前爲止，依然無法解決。
3 [/B]深入研究[/B]DCT[/B]
首先讓我們來看看AAN算法的第一階級變換代碼：
For I = 0 To 3
J = 7 - I
Y(I) = X(I) + X(J)
Y(J) = X(I) - X(J)
Next I
設X={10,20,30,40,50,60,70,80}
那麼Y={90,90,90,90,-10,-30,-50,-70}
可以看出，這一階級的低頻部分(相加得出的數據)全部相等，而高頻部分則呈線性或者是有規律的。DCT 之所以能以較少的數據大致還原圖像，就是因爲通過預測高頻部分而達到的。那麼爲何高頻部分可以預測呢？請仔細看上面的代碼，可以 看出DCT 是由外到內來進行處理的，由於像素與像素間有一定的關聯性，所以靠的越近的像素之間的差就應該越小，越遠就因該越大，但也並不是 說所有的數據都具有這種規律，因此DCT 預測出來的高頻數據就會和原高頻數據不大相同，它們之間的差便是第二節提出的修正數據。第二階級變換則是在第一階級變換的基礎上 再次分解出低、高頻，和預測高頻，得出修正值。第三階級……。最後，再將DCT係數按照重要程度由大到小，由左到右，重排列即可。
例：X={10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80}
經過FDCT後：Y={127,-64,0,-7,-0,-2,0,-1}
其中127是最最重要的，而-64次之，以此類推。可以發現,-7,-2,-1的能量都很小，說明這三個修正值可以忽略，當忽略後，
得Y={127,-64,0,0,0,0,0,0}
經過IDCT後：X={ 14, 18, 27, 39, 51, 63, 72,76}
這與原始數據：X={10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80}
是非常接近的，肉眼很難發覺。
4 [/B]爲何[/B]JPEG2000[/B]放棄[/B]DCT[/B]
[/B]在JPEG2000裏，放棄了基於塊的DCT，而改爲了小波變換。爲何要放棄DCT呢？我認爲最根本的原因還是跟DCT的計算量有關，第二節已經指出，爲了減少計算量，我們不得不使用只能處理8X8點陣的AAN快速算法（目前，也只有基於8X8點陣的），對於一幅圖像，必須將其分割成無數個8X8大小的“塊”，對塊進行變換。在低碼率下，就會產生方塊效應，要解決這個問題，唯有不使用基於區塊的AAN 快速算法，而是使用直接變換法，但計算量驚人！由於小波變換計算量很少，便於直接處理圖像數據，因此就不會產生塊效應，但假如用 小波也進行基於8X8點陣的塊變換，在低碼率下，同樣也會有塊效應！只要是基於塊變換的，那麼在低碼率下就會出現塊效應，無論是DCT還是小波。因此，如果忽略DCT直接處理的計算量問題的話，我認爲壓縮效率會比JPEG2000更好！（具體原因暫不討論）
5 DCT[/B]的改進[/B][/B]
下面的代碼是我對DCT變換的改進，它具有以下特性
l 無損變換
l 計算量少
l 原位計算
經改進後，它已不再叫作DCT了，可以認爲是一種新的算法，只不過是在DCT的基礎上修改而來。
以下是正變換：X爲輸入端，Y爲輸出端
設X={10,20,30,40,50,60,70,80}
那麼Y={45,40,0,0,0,0,0,0}
'----------------------------------第一階級
For I = 0 To 3
J = 7 - I
Y(J) = X(J) - X(I)
Y(I) = X(I) + Fix(Y(J) / 2)
Next I
'-----------------------------------第二階級
For H = 0 To 4 Step 4
For I = 0 To 1
J = 3 - I
X(J + H) = Y(J + H) - Y(I + H)
X(I + H) = Y(I + H) + Fix(X(J + H) / 2)
Next I
Next H
'-----------------------------------第三階級
For I = 0 To 6 Step 2
Y(I + 1) = X(I + 1) - X(I)
Y(I) = X(I) + Fix(Y(I + 1) / 2)
Next I
'-----------------------------------預測
Y(3) = Y(3) - Y(2)
Y(6) = Y(6) - Y(7)
Y(7) = Y(7) - Y(4)
'重要性排序與AAN一樣，皆爲{0,4,2,6,1,5,7,3}，此略
爲何能無損？爲何能原位？和具體實現原理暫時略，以後我會補上
6 [/B]參考[/B][/B]
[1]丁貴廣，計文平，郭寶龍 Visual C++6.0數字圖像編碼 p44,p57,p170
[2] JPEG2000 和 JPEG 對比http://www.souxin.com/jpeg2000/txt/test/index.htm
我又寫了一個改進算法，可以無損或有損變換
詳見：host.bluexp.net/vbgood/forum/forum_posts.asp?TID=20672&PN=1&20672.html
我最近由圖像編碼改爲視頻編碼 但在這方面我還是新手，急需高手指點。。。
還有就是我想自己制訂編碼算法(即自創算法)。。
在此附上我在圖像處理上，設計的仿DCT一維變換的算法。原理很簡單，就是基於數據的相關性。。。，如果稍加改動，是可以無損變 換的，即不存在小數的精度問題。反變換就是本代碼的逆代碼。
Sub FT(Dat() As Integer, K As Integer, L As Integer)
Dim X(7) As Single, Y(7) As Single
Dim Pos As Integer, I As Integer, J As Integer
'0.125, 0.25, 0.5, 0.75, 0.875 比例係數
'1 / 8, 2 / 8, 4 / 8, 6 / 8, 7 / 8 比例係數的分數表達
'![]()
= Array(0, 4, 2, 6, 1, 5, 7, 3)
Pos = L
For I = 0 To 7
X(I) = Dat(Pos + K * I)
Next I
For I = 0 To 3
J = 7 - I
Y(I) = X(I) + X(J)
Y(J) = X(J) - X(I)
Next I
X(0) = Y(0) + Y(3)
X(1) = Y(1) + Y(2)
X(2) = Y(2) - Y(1)
X(3) = Y(3) - Y(0)
X(4) = Y(4)
X(5) = (Y(6) - Y(5)) * 0.5
X(6) = (Y(6) + Y(5)) * 0.875
X(7) = Y(7)
Y(0) = X(0) + X(1)
Y(1) = X(1) - Y(0) * 0.5
Y(2) = X(2) * 0.25 + X(3) * 0.75
Y(3) = X(3) * 0.25 - X(2) * 0.75
X(4) = X(5) + X(4): X(5) = X(5) - X(4) * 0.5
X(6) = X(7) + X(6): X(7) = X(7) - X(6) * 0.5
Y(4) = X(4) * 0.125 + X(6) * 0.875
Y(5) = X(6) * 0.125 - X(4) * 0.875
Y(6) = X(5) * 0.25 + X(7) * 0.75
Y(7) = X(7) * 0.25 - X(5) * 0.75
For I = 0 To 7
Dat(Pos + K * I) = Y(P(I))
Next I
End Sub
詳見：host.bluexp.net/vbgood/forum/forum_posts.asp?TID=20672&PN=1&20672.html
我最近由圖像編碼改爲視頻編碼 但在這方面我還是新手，急需高手指點。。。
還有就是我想自己制訂編碼算法(即自創算法)。。
在此附上我在圖像處理上，設計的仿DCT一維變換的算法。原理很簡單，就是基於數據的相關性。。。，如果稍加改動，是可以無損變 換的，即不存在小數的精度問題。反變換就是本代碼的逆代碼。
Sub FT(Dat() As Integer, K As Integer, L As Integer)
Dim X(7) As Single, Y(7) As Single
Dim Pos As Integer, I As Integer, J As Integer
'0.125, 0.25, 0.5, 0.75, 0.875 比例係數
'1 / 8, 2 / 8, 4 / 8, 6 / 8, 7 / 8 比例係數的分數表達
'
= Array(0, 4, 2, 6, 1, 5, 7, 3)Pos = L
For I = 0 To 7
X(I) = Dat(Pos + K * I)
Next I
For I = 0 To 3
J = 7 - I
Y(I) = X(I) + X(J)
Y(J) = X(J) - X(I)
Next I
X(0) = Y(0) + Y(3)
X(1) = Y(1) + Y(2)
X(2) = Y(2) - Y(1)
X(3) = Y(3) - Y(0)
X(4) = Y(4)
X(5) = (Y(6) - Y(5)) * 0.5
X(6) = (Y(6) + Y(5)) * 0.875
X(7) = Y(7)
Y(0) = X(0) + X(1)
Y(1) = X(1) - Y(0) * 0.5
Y(2) = X(2) * 0.25 + X(3) * 0.75
Y(3) = X(3) * 0.25 - X(2) * 0.75
X(4) = X(5) + X(4): X(5) = X(5) - X(4) * 0.5
X(6) = X(7) + X(6): X(7) = X(7) - X(6) * 0.5
Y(4) = X(4) * 0.125 + X(6) * 0.875
Y(5) = X(6) * 0.125 - X(4) * 0.875
Y(6) = X(5) * 0.25 + X(7) * 0.75
Y(7) = X(7) * 0.25 - X(5) * 0.75
For I = 0 To 7
Dat(Pos + K * I) = Y(P(I))
Next I
End Sub