漢諾塔專題講解。

漢諾塔$0$

題意：三根柱子，每次移動距離無限制，一次移動一個圓盤，問將所有圓盤從$A$按大小順序移動到$C$最少需要多少步。

思路：因爲這裏不需要小圓盤始終在大圓盤上面，所以

設移動$n$個圓盤的方案爲$f(n)$，顯然先將$n-1$個圓盤移動到$B$上需要$n-1$步。

然後最後一個圓盤移動到$C$需要$1$步，然後再將$n-1$個圓盤移動到$C$需要$n-1$步。

所以$f(n)=2n-1$.

漢諾塔1

題意：三根柱子，每次移動距離無限制，一次移動一個圓盤，要求小圓盤始終在大圓盤上面，問將所有圓盤從$A$按大小順序移動到$C$最少需要多少步。

思路：設移動$n$個圓盤的方案爲$f(n)$，顯然先將$n-1$個圓盤移動到$B$上需要$f(n-1)$ 步，然後最後一個圓盤移動到$C$需要$1$步，然後再將$n-1$個圓盤移動到$C$需要$f(n-1)$步。所以$f(n)=2f(n-1)+1\rightarrow f(n)=2^n-1$ 。（另外遞歸或者打表都可以找到規律）

遞歸代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
int  cnt=0;
void fun(int n,char a,char b,char c){
	 if(n==1){
	 	 printf("第%d次移動：將%d號圓盤從 %c 移動到 %c\n",++cnt,1,a,c);
	 	 return;
	 } 
	 fun(n-1,a,c,b);
	printf("第%d次移動：將%d號圓盤從 %c 移動到 %c\n",++cnt,n,a,c);
	 fun(n-1,b,a,c);
}
int main(){
	int n;
	char a='a',b='b',c='c';
	while(~scanf("%d",&n)){
		cnt=0;
		fun(n,a,b,c);
		printf("總共移動次數：%d\n",cnt);
	}
	return 0;
} 

漢諾塔2

題意：三根柱子，每次移動到相鄰柱子，一次移動一個圓盤，要求小圓盤始終在大圓盤上面，問將所有圓盤從$A$按大小順序移動到$C$最少需要多少步。

思路：設移動$n$個圓盤的方案爲$f(n)$，先將上面$n-1$個圓盤移動到$C$上需要$f(n-1)$ 步，然後最後一個圓盤移動到$B$需要$1$步，然後再將$n-1$個圓盤移動到$A$需要$f(n-1)$步,再將最後一個圓盤移動到$C$需要一步，再將$n-1$個圓盤移動到$C$需要$f(n-1)$步，所以$f(n)=3f(n-1)+2\rightarrow f(n)=3^n-1$

漢諾塔3

題意：四根柱子，每次移動距離無限制，一次移動一個圓盤，要求小圓盤始終在大圓盤上面，問將所有圓盤從$A$按大小順序移動到$D$最少需要多少步。

思路：假設以$C,D$爲輔助柱子，從$A$移動$n-r$個圓盤到$B$的方案記爲$f(n-r)$.然後將剩下的$r$個柱子利用輔助柱子$C$從$A$移動到$D$的方案爲$2^r-1$（三柱漢諾塔)。

再將$n-r$個圓盤以$A,C$爲輔助柱子移動到$D$的方案爲$f(n-r)$.

所以$f(n)=min\{2f(n-r)+2^r-1\},r\in[1,n]$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
ll f[N];
int n; 
int main(){
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<=64;i++){
		f[i]=1e18;
		for(int r=1;r<=i;r++){
			f[i]=min(f[i]*1.0,2*f[i-r]+pow(2,r)-1);
		}
	}
	while(~scanf("%d",&n))
	printf("%lld\n",f[n]);
	return 0;
}