BZOJ2154 Crash的數字表格

題目大意

給定n,m，求：

∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)

Solution

令p=gcd(i,j)，且min{n,m}=n。

∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)

=∑p=1n∑i=1⌊np⌋∑j=1⌊mp⌋ijp⋅ε(gcd(i,j))

=∑p=1n∑i=1⌊np⌋∑j=1⌊mp⌋ijp⋅μ(gcd(i,j))∗1

=∑p=1n∑i=1⌊np⌋∑j=1⌊mp⌋ijp∑(d|i)∧(d|j)μ(d)

=∑p=1np∑d=1⌊np⌋μ(d)d2∑i=1⌊ndp⌋i∑j=1⌊mdp⌋j

令q=dp,S(n)=∑ni=1i
則原式=

∑q=1nqS(⌊nq⌋)S(⌊mq⌋)∑d|qμ(d)d

令F(q)=∑d|qμ(d)d
則原式=

∑q=1nqS(⌊nq⌋)S(⌊mq⌋)F(q)

其實F類似積性函數，可以用線性篩可以把它求出來。

代碼

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define mo 20101009
using namespace std;
typedef long long ll;
int prime[10000010],flag[10000010];
ll F[10000010],S[10000010];
int main()
{
    int n,m,cnt=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    flag[1]=1;
    int MAX=max(n,m);
    int MIN=min(n,m);
    F[1]=1;
    for (int i=2;i<=MAX;i++)
    {
        if (!flag[i])
            prime[++cnt]=i,F[i]=-i+1;
        for (int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if (prime[j]*i>MAX) break;
            flag[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0)
            {
                F[i*prime[j]]=F[i];
                break;
            }
            F[i*prime[j]]=F[i]*F[prime[j]]%mo;
        }
    }
    for (int i=1;i<=MAX;i++)
    {
        S[i]=S[i-1]+i;
        if (S[i]>=mo) S[i]-=mo;
    }
    ll ans=0;
    for (int q=1;q<=MIN;q++)
    {
        int n1=n/q,m1=m/q;
        ll sum=S[n1]*S[m1]%mo;
        sum*=q;
        sum%=mo;
        sum*=F[q];
        sum%=mo;
        sum=(sum+mo)%mo;
        ans+=sum;
        if (ans>=mo) ans-=mo;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}