插值法(1)：拉格朗日插值

插值法

問題背景：

已知$y = f(x)$的若干個離散點$y_1=f(x_1)、y_2=f(x_2)、y_3=f(x_3)......$,如何求$f(x)$
思想：用這一系列的離散點去造出一個$P(x)，使得P(x)滿足：P(x_1)=f(x_1)、P(x_2)=f(x_2)、P(x_3)=f(x_3)......$
一些概念：
$P(x)稱爲插值函數，離散點x_1、x_2、x_3.......$稱爲節點。若$f(x)爲一個多項式（次數不大於n）則稱其爲插值多項式。$

拉格朗日插值：

線性插值

• 問題：
  $已知x_1,x_2,x_3......和y_1,y_2,y_3......,其中y_i = f(x_i),i=1、2、3......,\\求插值函數。先考慮兩點的問題。 由兩點公式，容易得出：\\ L_0(x)=\frac {x-x_1} {x_0-x_1}y_0+ \frac {x-x_0} {x_1-x_0}y_1\\$
  一些啓發：
  $令l_0(x)= \frac {x-x_1} {x_0-x_1}y_0、l_1(x)= \frac {x-x_0} {x_1-x_0}y_1$得到下面的啓發：

1. $我們發現，L(x)實際上是l_i(x) 的線性組合，其線性係數是對應的y_i$
2. $l_i(x)滿足：\\l_i(x) = \left\{\begin{matrix} 1,& x=x_i\\ 0,&x\neq x_i \end{matrix}\right.$

拋物線插值

受到上面的啓發，假設我們使用三個點來進行插值：
由上述的啓發1，有：
$L_1(x) = y_0l_0(x)+y_1l_1(x)+y_2l_2(x)$
由上述的啓發2，有：
$l_i(x)滿足：\\l_i(x) = \left\{\begin{matrix} 1,& x=x_i\\ 0,&x\neq x_i \end{matrix}\right.$
故，有：
$l_0(x): l_0(x)=1,l_1(x)=0,l_2(x)=0,故有l_0(x)=c_0(x-x_1)(x-x_2) \\ l_1(x): l_0(x)=0,l_1(x)=1,l_2(x)=0,故有l_1(x)=c_1(x-x_0)(x-x_2) \\ l_2(x): l_0(x)=0,l_1(x)=0,l_2(x)=1,故有l_2(x)=c_1(x-x_0)(x-x_1)$
待定係數$c_i$，求出$c_i$,
得到：
$L_1(x) = y_0\frac {(x-x_1)(x-x_2)} {(x_0-x_1)(x_0-x_2)}+ y_1\frac {(x-x_0)(x-x_2)} {(x_1-x_0)(x_1-x_2)}+ y_2\frac {(x-x_0)(x-x_1)} {(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$

拉格朗日一般插值：

$現在插入n+1個點：x_0,x_1,x_2 .......,x_n,現在利用剛纔的方法便可以得到一個一般插值多項式：$
$L_n = \sum_{i = 0}^{n} \prod_{j = 0,j\neq i}^{n} \frac {x - x_j}{x_i-x_j}y_i$
令：$\omega_{n+1}(x) = (x-x_0)(x-x_1)......(x-x_n)$
故有
$L_n = \sum_{i = 0}^{n}\frac {\omega_{n+1}(x)} {\omega_{n+1}(x_i)(\omega_{n+1}'(i))}$

可以看出來，這個實際上是一個二次循環。

拉格朗日插值多項式的餘項（誤差）

一個問題：

有時候$f^{(n+1)}(x)$的最大值也不好估計，所以


這樣就給出了一個在函數高接到不好估的時候，可以得出大體值。