目錄
1. 引言
個人認爲機器人運動學是整個機器人學的核心內容。仍然以前面的SCARA機器人爲例，如下圖所示，假設笛卡爾座標系{A}是一個固定座標系（笛卡爾座標系實際上就是利用相交於一點的三條數軸來衡量空間中點的位置的一種座標系，相對應的有極座標系，球座標系等；所謂固定座標系就是座標系不隨着機器人運動）。藍色的P點是機器人絲桿末端的上的一個點。
想像一下，如果我們知道機器人各個關節當前旋轉的角度，如何確定P點在座標系{A}中的座標P(x,y,z)呢？老實說即使是這樣一個問題也曾經困擾了我很久。
這就是我們在機器人運動學中碰到的第一個問題---正運動學問題。也就是在已知機器人各個關節的位置的情況下確定其末端執行器的位置。
2. 位姿的描述（位置與姿態）
整個機器人運動學都是建立在座標系及其變換的基礎之上，而這一部分也確實存在諸多有趣的問題。因此我們以座標系及其變換作爲機器人正運動學的切入點。
2.1 平移的描述（位置）
從最簡單的情況說起，如下圖所示，兩個座標系{A}和{B}的座標軸分別平行，設座標系{A}爲基座標系，那麼如何表達座標系B與座標系A關係呢？
這個問題其實是比較簡單的，從圖中我們知道，空間中任意一點M在基座標系{A}中的位置可以用向量
在上面的等式中
2.2 旋轉的描述（姿態）
旋轉的描述是比較複雜的，我們先討論只有旋轉，沒有平移的情況，即兩個座標系原點重合的情況。如下圖所示，在這樣的情況下怎麼去描述座標系{B}與座標系{A}之間的關係呢？
我們依然以座標系{A}爲基座標系。那麼座標系{A}的三個座標軸可以用如下三個單位向量描述：
同時我們設座標系{B}的三個座標軸在基座標系{A}下的向量描述爲：
此時我們意識到向量
如果在這個等式兩邊同時點乘
注意在上面的推導中我們用到了向量點乘法則，即兩個互相垂直的單位向量點積爲0，單位向量與其自身的點積爲1。根據向量點乘法則，
注意在上面的推導中我們用到了單位向量模長爲1的性質。根據這些性質，
同理可得：
最終整理可得：
前面我們進行了那麼多的推導，看上去很複雜，但是其實都是最簡單的向量以及矩陣運算。我們觀察最後得到的這個等式。等式左邊是點V在座標系{A}中的座標；等式右邊是一個矩陣R乘上點V在座標系{B}中的座標。那麼根據這個等式我們可以將空間中任意一點由座標系{B}中的表示轉換到座標系{A}中的表示。可見我們利用同一個向量（即
接下來我們總結一下關於旋轉的描述。當兩個座標系{A}和{B}原點重合時，他們的姿態關係可以利用一個3x3的矩陣來描述。我們看到這個矩陣的所有元素都是餘弦值，因此我們稱這個矩陣爲方向餘弦矩陣。這可以認爲是方向餘弦矩陣的由來。
3. 總結
這一篇文章，我們主要介紹了座標系以及座標系的兩種變換關係，即平移變換和旋轉變換，雖然我們依然沒能解決引言中提出的問題，但是我們已經比較接近答案了。
由於個人能力有限，所述內容難免存在疏漏，歡迎指出，歡迎討論。