中點畫圓法詳解

中點畫圓法

一、算法原理

利用圓的對稱性，只須討論1/8圓，即下圖第二個8分圓區域：

1. 假設$P(x,y)$爲當前像素，下一個像素可能是正右方$P_1(x+1,y)$或右下方$P_2(x+1,y-1)$，如上圖所示。
2. 設$M$爲$P_1$、$P_2$間的中點，即$M$的座標爲$(x+1,y-0.5)$。若$M$在圓內，則$P_1$靠近圓弧，應該取爲下一像素，否則應取$P_2$。

二、公式推導

1. $構造函數：$F(x,y)=x^2 + y ^2 - R^2$ ,則有：
   $F（x,y）= 0 （x,y）在圓上\\ F（x,y）< 0 （x,y）在圓內\\ F（x,y）> 0 （x,y）在圓外$
2. 帶入$M$座標，有如下結論：
   $F（M）< 0$ M在圓內，取$P_1$
   $F（M）\geq 0$ M在圓外，取$P_2$
   爲此，可採用如下判別式：
   $\begin{aligned} d &= F(M) \\ &= F(x + 1, y - 0.5)\\ &= (x + 1)^2 + (y - 0.5) ^2 - R^2 \end{aligned}$
3. 若$d<0$，則$P_1$ 爲下一個像素，那麼再下一個像素的判別式爲：
   $\begin{aligned} d_1 &= F(x + 2, y - 0.5)\\ &= (x + 2)^2 + (y - 0.5) ^2 - R^2\\ &= d + 2x +3 \end{aligned}$
   即，$d$的增量爲$2x +3$
4. 若$d \geq 0$，則$P_2$ 爲下一個像素，那麼再下一個像素的判別式爲：
   $\begin{aligned} d_2 &= F(x + 2, y - 1.5)\\ &= (x + 2)^2 + (y - 1.5) ^2 - R^2\\ &= d + (2x +3) +(-2y+2)\\ &=d+2(x-y)+5 \end{aligned}$
   即，$d$的增量爲$2(x-y)+5$
5. d的初值
   $\begin{aligned} d_0 &= F(1, R-0.5)\\ &= 1 + (R-0.5)^2 - R^2\\ &= 1.25 - R \end{aligned}$

三、改進優化

爲了擺脫$d_0$的浮點數運算，使整個算法全部使用整數運算，用$e_0=d_0-0.25$，則有$x_0=0,y_0=R,d_0=1-R$。那麼，中點畫圓算法的遞推公式如下：($i=0,1,2,\cdots$，直至$x>y$爲止)
$\begin{aligned} d &<0,d_{i+1}=d_i+2x_i+3,x_{i+1}=x_i+1\\ d &\geq0,d_{i+1}=d_i+2(x_i-y_i)+5,x_{i+1}=x_i +1,y_{i+1}=y_i-1 \end{aligned}$