近日，網上公佈了一篇關於根據子矩陣的特徵值求得平方賦範特徵向量的一篇文章“Eigenvectors from Eigenvalues”[1]。據網上推文描述，該文章是三位物理學家Peter Denton、Stephen Parke和張西寧在做中微子研究時意外發現的一項成果。該推文名爲《3個搞物理的顛覆了數學常識，數學天才陶哲軒：我開始壓根不相信》，並於2019.11.15被髮佈於微信公衆號，澎湃新聞，百度貼吧等多個媒體平臺。其中，澎湃新聞的發佈網址爲https://www.thepaper.cn/newsDetail_forward_4966910。從標題可以看出，該推文推薦的這篇文章還把數學常識給顛覆了，這對於人類而言可是了不得的大事呀。並且，值得注意的是，該研究成果還受到了數學天才、菲爾茲獎得主陶哲軒的青睞，不僅對該研究成果做出非凡評價：“新公式的非凡之處是，在任何情況下，你不需要知道矩陣中的任何元素，就可以計算出你想要的任何東西”[2]，而且還與這三位物理學家共同發表了該成果。看來該科研成果確實不同凡響。
目前，該文章已被被髮表於arXiv上，有興趣的讀者可以點擊網址https://arxiv.org/abs/1908.03795 閱讀該文章。由於這篇文章是一篇純數學理論的文章，涉及了許多矩陣論的知識，並不容易看懂。相信很多數讀者看完文章一臉懵逼，讀完後發現每個單詞都能認識但連起來就不清楚在講什麼了。因此，爲了幫助大家搞清楚這篇文章的內容，文本將在研讀這篇文章的基礎上，從算法分析角度實現文章所要表述的核心思想。由於論文已經對數學原理部分做了詳細論文，因此本文在以下的論述過程中將不再講述算法設計的原理，只描述算法設計的過程以及算法實驗的結果。
本文涉及的源碼上傳與Github：https://github.com/imcjp/SquarNormEigVecFromEigVals。讀者可自行下載。
更多信息，參見作者個人主頁Jianping Cai's Research Page。
結論
在完成了上述算法實現後，本文對該研究做出了以下一些評價。首先，作爲一個數學方面的理論成果，其在理論方面的存在價值是毋庸置疑的。該研究成果在一定程度上可能成爲某個問題研究過程中的突破口，具有一定的創造性。然而，筆者認爲，本篇文章遠沒有達到某些推文所說的那麼牛的地步，甚至能夠“顛覆”基礎數學。原因有以下幾點：
- 文章的理論深度並不會非常深，像筆者這樣不知名的小人物從昨晚看到推文開始也僅用了一個晚上就基本搞懂它的內容和理論推導了，而且陶哲軒大神也僅在兩個小時內就給出了三種理論證明的方法。如此快速完成的成果估計很難對數學有多少顛覆。
- 值得注意的是，該文章所求的並不是特徵向量，而是平方賦範特徵向量，這兩者之間是有巨大的差距的，因爲實際應用中求平方賦範特徵向量的場景並不多，應用價值有限。更重要的是平方賦範特徵向量丟失了特徵向量中各個元素的方向（複平面中的方向），只能從特徵向量求得平方賦範特徵向量，而不能反過來求，因此難以像推文所述解決求特徵向量的問題。
- 該文章所需要處理的矩陣具有侷限性，要求爲Hermitian矩陣。雖然Hermitian矩陣在實際應用中經常涉及，但總體上講算法還是比較特殊，很多問題難以拿它來解決。
總之，我本來興致勃勃地想着研讀完這篇比較新的、具有“顛覆性”的數學成果後，想用它來做點什麼東西。現在看來，有些失望，因爲暫時想不到能夠把它應用在什麼問題上。不過，也並不能說該研究成果沒有價值，可能某些問題中用它正好合適又恰巧解決什麼理論問題那就是值得的。
參考文獻
[1] P. B. Denton, S. J. Parke, T. Tao, and X. Zhang, "Eigenvectors from Eigenvalues,", arXiv e-prints, Aug 2019, p. arXiv:1908.03795.
[2]十三, 魚羊, 發自等. "3個搞物理的顛覆了數學常識，數學天才陶哲軒：我開始壓根不相信" [EB/OL]. https://www.thepaper.cn/newsDetail_forward_4966910.