#NOIP模擬賽#喫糖果candy（縮小選邊範圍--mod區間）

喫糖果（candy）

【題目描述】

小D有一包糖果和N張卡片。每張卡片上都有一個正整數Pi。小D想這樣喫糖果，他把兩張卡片用線串起來，如果兩張卡片上的數字分別爲Pa和Pb，他就喫掉min(Pa%Pb,Pb%Pa)的糖果。

他想最終把所有的卡片都串起來——即提起一張卡片，就可以將其他卡片都提起。請問他最少需要喫掉多少糖果。

【輸入格式】

第一行包含一個正整數N（1<=N<=10⁵)

接下來N行，每行一個正整數Pi（1<=Pi<=10⁷)

【輸出格式】

有且只有一行，輸出答案。

【數據範圍】

30%的數據N<=10³

40%的數據Pi<=10⁶

70%的數據上述條件至少滿足1個。

【輸入樣例1】

4

2

6

3

11

【輸出樣例1】

1

 

【輸入樣例2】

4

1

2

3

4

【輸出樣例2】

0

 

【輸入樣例3】

3

4

9

15

【輸出樣例3】

4

對於兩個點u,v它們邊的長度就是min(Pu%Pv,Pv%Pu)，

如果兩張卡片上的數相等，那麼他們之間邊權爲0，可以將他們看做一個頂點。

於是我們只需要考慮卡片上的互不相等的情況。

設卡片的最大值爲maxz，注意到maxz不超過10^7,將卡片按值由小到大排序，對於某張卡片i，設它的值爲pi。

以pi爲週期，將[pi,maxz]分爲若干個區間，最後一個區間可能不足pi。

在每個區間找到模pi的值最小的卡片，將該卡片和卡片i連邊，特別的，第一個區間即[pi,2*pi-1]，要注意不能找第i張卡片本身。

我們只需要在剛纔連的邊中求一個最小生成樹即可。

aft[P[i]]表示值大於P[i]的第一個值。

下面給出一些思考點和證明：

1，爲什麼第一段要單獨處理？

因爲每段區間mod最小的值應該儲存在aft[P[i] * x]的地方，但是第一段不能選P[i]，所以必須向後移一個成爲aft[P[i] + 1]

2，爲什麼每個P[i]值只對它處理一遍？

因爲V的下標是邊的長度，而每個相同的點權之間可以連邊使得邊權爲0，所以只處理一遍，就是將那一堆權值相同的點中選出一個和其他權值不同的點相連。

3，區間中的點爲什麼選擇aft邊界位置中的最優？

因爲對於P[i]來說，倍數肯定是mod值最小的，而不是倍數的話，就考慮離倍數最近的一個爲當前區間中的最優值。

4，爲什麼從選出來的這些邊中做最小生成樹一定能保證N個點都連通？

注意我們的循環是對於每一個i而言的，所有點權不同的i一定都會被枚舉到，並且每個點i都至少會在大小爲P[i]的區間中找到一個與之相匹配的點來連邊，最後的並查集一定會訪問到V數組中所有的點，並保證將它們連成一棵最小生成樹。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cassert>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int Max = 1 << 19;
const int Maxm = 1e7;

struct node{
    int u, v;
    node(){}
    node(int a, int b){u = a, v = b;}
};

int N;
int P[Max + 5], fa[Max + 5], rnk[Max + 5];
int pos[Maxm + 5], aft[Maxm + 5], Cnt[Maxm + 5];

vector<node>V[Maxm + 5];

bool getint(int & num){
    char c; int flg = 1;    num = 0;
    while((c = getchar()) < '0' || c > '9'){
        if(c == '-')    flg = -1;
        if(c == -1) return 0;
    }
    while(c >= '0' && c <= '9'){
        num = num * 10 + c - 48;
        if((c = getchar()) == -1)   return 0;
    }
    num *= flg;
    return 1;
}

int root(int x){
    if(! fa[x]) return x;
    return fa[x] = root(fa[x]);
}

int main(){
    freopen("candy.in", "r", stdin);
    freopen("candy.out", "w", stdout);
    getint(N);
    for(int i = 1; i <= N; ++ i){
        getint(P[i]);
        aft[P[i]] = P[i];
        if(pos[P[i]] == 0)
            pos[P[i]] = i;
    }
    for(int i = Maxm - 1; i >= 0; -- i) if(! aft[i])
        aft[i] = aft[i + 1];
    for(int i = 1; i <= N; ++ i){
        if(Cnt[P[i]] ++)    continue;
        if(aft[P[i] + 1]){
            if(P[i] * 2 > Maxm || aft[2 * P[i]] != aft[P[i] + 1])
                V[aft[P[i] + 1] - P[i]].push_back(node(i, pos[aft[P[i] + 1]]));
        }
        for(int j = 2 * P[i]; j <= Maxm && aft[j]; j += P[i])
            if(j + P[i] > Maxm || aft[j + P[i]] != aft[j])
                V[aft[j] - j].push_back(node(i, pos[aft[j]]));
    }
    long long rt = 0LL;
    for(int i = 0; i <= Maxm; ++ i)
        for(int j = 0; j < V[i].size(); ++ j){
            int a = root(V[i][j].u), b = root(V[i][j].v);
            if(a != b){
                if(rnk[a] > rnk[b]) fa[b] = a;
                else if(rnk[a] < rnk[b]) fa[a] = b;
                else    fa[a] = b, ++ rnk[a];
                rt += i;
            }
        }
    printf("%lld\n", rt);
    return 0;
}