揹包DP | 找零錢問題

找零錢問題：假設有一個出納員手中有幾種面值的硬幣，要求他用最少的硬幣數支付規定的現金。例如，現有3種硬幣：它們的面值分別爲1元、4元和6元。要支付8元。

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找零錢問題可以使用貪心或完全揹包來解決，但是用貪心解決是對面值的數字有條件的，不是所有的情況都可以的。具體的區別可以看看這篇文章：最優找零問題 —— 貪心or動態規劃，寫的很清楚 。本文是根據 揹包DP | 完全揹包問題 模型來解決問題。

本題完全可以轉化爲 ：貨幣種類數 n = 3，各價值爲 c[3] = {1,4,6}，各重量均爲 1。求 V = 8 的揹包裝滿所需要的最小重量。dp[ i ][ j ]：用前i種貨幣支付 j 元的最小貨幣量，狀態轉移方程如下：

情況1：

 

情況2：

• 當  且 ：

初始條件：

• dp[ 0 ][ j ] = ∞
• dp[ i ][ 0 ] = 0

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代碼實現 

int solve(int n, int v, int c[]) {
    /* 賦予初值 */
    int dp[MAXN][MAXV] = {0};
    for (int j = 1; j < MAXV; j++)
        dp[0][j] = INT_MAX;

    for (int i = 1; i <= n; i++)  //i爲當前可選貨幣
        for (int j = 1; j <= v; j++) {  //j爲最大容量
            if (c[i] > j)
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - c[i]] + 1);
        }
    return dp[n][v];
}

int main() {
    int n = 3;
    int c[4] = {0, 1, 4, 6};
    printf("%d\n", solve(n, 19, c));
}

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