更新一下今天 “計算理論與算法設計” 期末考試的三道編程題，沒有測試用例的題真是太藍受了。分享一下我考試時的思路，最後也給出了我編寫的自測用例。僅供參考，如有錯誤還請指出~

01

成績 15 開啓時間 2020年06月24日星期三 15:10
折扣 0.8 折扣時間 2020年06月24日星期三 18:30
允許遲交否關閉時間 2020年06月24日星期三 18:30
題目描述：

從前有一羣鷹，它們很喜歡玩疊羅漢，於是就叫它們羅漢鷹。每個羅漢鷹都有一定的翅膀寬度和身高，而身高又分爲兩部分，上半身高度和腿長。每個正在疊羅漢的鷹的上半身高度都會算到整個的高度中，但是隻有最下面那個的腿是露出來的並且算入整體高度。現在它們又要開始疊羅漢了。但是由於某些鷹互爲好朋友，想待在一起聊天，所以每個鷹只願意和它們指定的一些鷹相鄰（相鄰就是指在另一個鷹的上一個或下一個），當然它也可以獨自站在那。你的任務就是給你一羣羅漢鷹，你要從中選出一些來疊羅漢，使得總高度最高。但是爲了美觀起見，鷹在疊羅漢的時候，他們翅膀寬度必須嚴格地從大到小排列，最下面那個最寬。

輸入格式：

首先第一行是一個整數T，表示用例組數。

接下來T組用例。每組第一行一個整數n代表給你的鷹數。接下來有n行，第i行首先是3個整數，代表i號鷹的翅膀寬度w，上半身高度h和腿長g。然後有一個數k，代表它願意相鄰的鷹數，之後有k個整數Xj代表它願意和哪k個鷹相鄰。

其中 0 < n <= 500，0 <= w,h,g <= 10000，0 <= k <= n，1 <= Xj<= n。

數據保證任意兩個鷹w不同，並且若i願意和j相鄰，那麼j必願意和i相鄰。

輸出格式：

對每組用例，輸出一行一個整數，代表能達到的最大高度。

測試輸入期待的輸出時間限制內存限制額外進程
測試用例 1
1↵

2↵

5 6 7 1 2↵

6 6 8 1 1↵

20↵

1秒 64M 0

	測試輸入	期待的輸出	時間限制	內存限制	額外進程
測試用例 1	1↵ 2↵ 5 6 7 1 2↵ 6 6 8 1 1↵	20↵	1秒	64M	0

這道題我是最後一個去做的，一開始瞄了一眼沒有思路就先跳過了。最後再來看這道題，用動態規劃解決的。過了自己的用例感覺沒啥問題~

首先爲什麼會想到用動態規劃呢？當然是此題很明顯有重疊子問題的性質啦！（~~放屁！明明是後兩題都沒有出現dp所以這道題就試一試dp~~）嘗試思考如何根據子問題推到另一個問題的解，並且如何表達動規變量？當時想了二十多分鐘吧，爲了避免凌亂，就不具體說我是咋想到的了，下面直接擺上我的思路：

1、數據預處理

首先這道題的數據比較複雜，簡單來看，我們需要儲存：每一個羅漢鷹🦅的寬 weight、高 height、腿長 leg 以及可以相鄰的其他鷹。其實有一個潛在的數據也需要儲存，即標識每一隻鷹的編號，我們記爲 id。爲了方便處理，對每一隻羅漢鷹用結構體來表示，然後定義一個羅漢鷹地結構體數組：

~~（emmmmm至於鷹爲啥用了 "bird"，實在是考試的時候想不起鷹的英文了，我覺得還是比用 “ying” 專業一點）~~

struct node {
    int id;  //最開始鷹的輸入順序作爲 id
    int width, height, leg; 
    bool match[MAXN];   //match[i] = true表示此鷹可以與id=i的鷹相鄰
} bird[MAXN];

接着處理輸入，我把輸入的處理寫在一個 Init() 函數中。並且考慮到在後面尋找堆積結果的時候，第一個應該要考慮的就是寬度遞減地堆積，所以說我們應該會需要對寬度進行排序，讓羅漢鷹以 width 遞減的順序儲存在 bird[ ] 中。對結構體以特定的元素排序，可以直接採用 algorithm 庫中的 sort 函數，具體使用方式參考這一篇文章：排序算法 | sort函數的使用。主要注意本題 bird 數組我是從下標1開始使用的。

bool cmp(struct node x, struct node y) {
    return x.width > y.width;
}

void Init() {
    scanf("%d", &n);
    memset(dp, 0, sizeof(dp));   //初始化！

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        bird[i].id = i;
        memset(bird[i].match, false, sizeof(bird[i].match));  //初始化
        
        scanf("%d %d %d", &bird[i].width, &bird[i].height, &bird[i].leg);
        int k, t;
        scanf("%d", &k);
        for (int j = 0; j < k; j++) {
            scanf("%d", &t);
            bird[i].match[t] = true;
        }
    }
    sort(bird + 1, bird + 1 + n, cmp);   //對bird數組以width爲關鍵字排序
}

2、動規思路

已經將所有的輸入處理好，且按照 width 遞減的順序儲存在 bird 數組中。由於相鄰的鷹要考慮是否能在一起，所以對於子問題中
：最下面的鷹和最上面的鷹是誰是至關重要的。那麼記 dp[ i ][ j ] ：以第 i 只鷹作爲最底端，第 j 只鷹作爲最上端的羅漢層高度。（這裏的第幾只表示的是排序後 bird 數組的第幾個）。很容易寫出狀態轉移方程：

其中： $i\leq t\leq j$ 且。

應該很好理解，只是要注意 match 數組中記錄的可相鄰的情況是針對排序之前的順序的，所以應該將當前第 t 個對應到 id 上。

還有初始條件：

根據狀態轉移方程，就很容易寫出動態規劃部分的核心代碼：

        int ans = 0;  //最終的最高高度
        /* 依次考慮每一隻鷹作爲最底端 */
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][i] = bird[i].leg + bird[i].height;  //初始化
            ans = max(ans, dp[i][i]);
            /* 依次考慮i後每一隻鷹作爲最頂端 */
            for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
                dp[i][j] = 0;  //初始化
                /* 在子問題中找到最優的匹配 */
                for (int t = i; t <= j - 1; t++) {
                    if (bird[j].match[bird[t].id])   //合適的纔可以結合
                        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][t] + bird[j].height);  
                }
                ans = max(ans, dp[i][j]);
            }
        }
        printf("%d\n", ans);

下面附上完整代碼和測試用例：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define MAXN 550
using namespace std;

int n;
int dp[MAXN][MAXN] = {0};

struct node {
    int id;  //最開始鷹的輸入順序作爲 id
    int width, height, leg;
    bool match[MAXN];   //match[i] = true表示此鷹可以與id=i的鷹相鄰
} bird[MAXN];

bool cmp(struct node x, struct node y) {
    return x.width > y.width;
}

void Init() {
    scanf("%d", &n);
    memset(dp, 0, sizeof(dp));   //初始化！

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        bird[i].id = i;
        memset(bird[i].match, false, sizeof(bird[i].match));  //初始化

        scanf("%d %d %d", &bird[i].width, &bird[i].height, &bird[i].leg);
        int k, t;
        scanf("%d", &k);
        for (int j = 0; j < k; j++) {
            scanf("%d", &t);
            bird[i].match[t] = true;
        }
    }
    sort(bird + 1, bird + 1 + n, cmp);   //對bird數組以width爲關鍵字排序
}

int main() {
    int t;

    for (scanf("%d", &t); t; t--) {
        Init();
        int ans = 0;  //最終的最高高度
        /* 依次考慮每一隻鷹作爲最底端 */
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i][i] = bird[i].leg + bird[i].height;  //初始化
            ans = max(ans, dp[i][i]);
            /* 依次考慮i後每一隻鷹作爲最頂端 */
            for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
                dp[i][j] = 0;  //初始化
                /* 在子問題中找到最優的匹配 */
                for (int t = i; t <= j - 1; t++) {
                    if (bird[j].match[bird[t].id])   //合適的纔可以結合
                        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][t] + bird[j].height);
                }
                ans = max(ans, dp[i][j]);
            }
        }
        printf("%d\n", ans);
    }

}

測試用例（5組）

輸入：

5
2
5 6 7 1 2
6 6 8 1 1
5
2 3 5 2 4 5
3 5 6 1 3
4 5 6 1 2
5 7 10 2 1 5
6 3 2 2 1 4
1
100 4 6 0
5
2 3 5 3 3 4 5
3 5 6 1 3
4 5 20 2 1 2
5 7 10 2 5 1
6 3 2 2 4 1
2
10 2 7 0
11 3 9 0

正確輸出：

20

20

10

30

12

end

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成績	15	開啓時間	2020年06月24日星期三 15:10
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允許遲交	否	關閉時間	2020年06月24日星期三 18:30