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折半查找算法

二叉查找樹

查找表的概念

查找表是由同一類型的數據元素構成的集合。例如電話號碼簿和字典都可以看作是一張查找表。
在查找表中只做查找操作，而不改動表中數據元素，稱此類查找表爲靜態查找表；反之，在查找表中做查找操作的同時進行插入數據或者刪除數據的操作，稱此類表爲動態查找表。

順序查找

順序查找的查找過程爲：從表中的最後一個數據元素開始，逐個同記錄的關鍵字做比較，如果匹配成功，則查找成功；反之，如果直到表中第一個關鍵字查找完也沒有成功匹配，則查找失敗
同時，在程序中初始化創建查找表時，由於是順序存儲，所以將所有的數據元素存儲在數組中，但是把第一個位置留給了用戶用於查找的關鍵字。例如，在順序表{1,2,3,4,5,6}中查找數據元素值爲 7 的元素，則添加後的順序表爲：

圖1
順序表的一端添加用戶用於搜索的關鍵字，稱作“監視哨”。
圖 1 中監視哨的位置也可放在數據元素 6 的後面（這種情況下，整個查找的順序應有逆向查找改爲順序查找）。
放置好監視哨之後，順序表遍歷從沒有監視哨的一端依次進行，如果查找表中有用戶需要的數據，則程序輸出該位置；反之，程序會運行至監視哨，此時匹配成功，程序停止運行，但是結果是查找失敗。
代碼實現：

/*
 * @Description: 順序查找算法
 * @Version: V1.0
 * @Autor: Carlos
 * @Date: 2020-05-22 15:52:11
 * @LastEditors: Carlos
 * @LastEditTime: 2020-06-03 16:56:06
 */ 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define keyType int
typedef struct {
    //查找表中每個數據元素的值
    keyType key;
    //如果需要，還可以添加其他屬性
}ElemType;

typedef struct{
    //存放查找表中數據元素的數組
    ElemType *elem;
    //記錄查找表中數據的總數量
    int length;
}SSTable;
/**
 * @Description: 創建查找表
 * @Param: SSTable **st 指向結構體指針的指針，即指針變量的指針,int length 創建的二叉樹的長度
 * @Return: 無
 * @Author: Carlos
 */
void Create(SSTable **st,int length){
    (*st)=(SSTable*)malloc(sizeof(SSTable));
    (*st)->length=length;
    //結構體指針分配空間
    (*st)->elem =(ElemType*)malloc((length+1)*sizeof(ElemType));
    printf("輸入表中的數據元素：\n");
    //根據查找表中數據元素的總長度，在存儲時，從數組下標爲 1 的空間開始存儲數據
    for (int i=1; i<=length; i++) {
        scanf("%d",&((*st)->elem[i].key));
    }
}
/**
 * @Description: 查找表查找的功能函數，其中key爲關鍵字
 * @Param: SSTable *st指向結構體變量的指針,keyType key 要查找的元素
 * @Return: key在查找表中的位置
 * @Author: Carlos
 */
int Search_seq(SSTable *st,keyType key){
    //將關鍵字作爲一個數據元素存放到查找表的第一個位置，起監視哨的作用
    st->elem[0].key=key;
    int i=st->length;
    //從查找表的最後一個數據元素依次遍歷，一直遍歷到數組下標爲0
    while (st->elem[i].key!=key) {
        i--;
    }
    //如果 i=0，說明查找失敗；反之，返回的是含有關鍵字key的數據元素在查找表中的位置
    return i;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    SSTable *st;
    Create(&st, 6);
    getchar();
    printf("請輸入查找數據的關鍵字：\n");
    int key;
    scanf("%d",&key);
    int location=Search_seq(st, key);
    if (location==0) {
        printf("查找失敗");
    }else{
        printf("數據在查找表中的位置爲：%d",location);
    }
    return 0;
}

折半查找

折半查找，也稱二分查找，在某些情況下相比於順序查找，使用折半查找算法的效率更高。但是該算法的使用的前提是靜態查找表中的數據必須是有序的。
例如，在{5,21,13,19,37,75,56,64,88 ,80,92}這個查找表使用折半查找算法查找數據之前，需要首先對該表中的數據按照所查的關鍵字進行排序：{5,13,19,21,37,56,64,75,80,88,92}。
在折半查找之前對查找表按照所查的關鍵字進行排序的意思是：若查找表中存儲的數據元素含有多個關鍵字時，使用哪種關鍵字做折半查找，就需要提前以該關鍵字對所有數據進行排序。

折半查找算法

對靜態查找表{5,13,19,21,37,56,64,75,80,88,92}採用折半查找算法查找關鍵字爲 21 的過程爲：

圖2
後一個關鍵字，指針 mid 指向處於 low 和 high 指針中間位置的關鍵字。在查找的過程中每次都同 mid 指向的關鍵字進行比較，由於整個表中的數據是有序的，因此在比較之後就可以知道要查找的關鍵字的大致位置。
例如在查找關鍵字 21 時，首先同 56 作比較，由於21 < 56，而且這個查找表是按照升序進行排序的，所以可以判定如果靜態查找表中有 21 這個關鍵字，就一定存在於 low 和 mid 指向的區域中間。
因此，再次遍歷時需要更新 high 指針和 mid 指針的位置，令 high 指針移動到 mid 指針的左側一個位置上，同時令 mid 重新指向 low 指針和 high 指針的中間位置。如圖3所示：

圖3
同樣，用 21 同 mid 指針指向的 19 作比較，19 < 21，所以可以判定 21 如果存在，肯定處於 mid 和 high 指向的區域中。所以令 low 指向 mid 右側一個位置上，同時更新 mid 的位置。

圖4
當第三次做判斷時，發現 mid 就是關鍵字 21 ，查找結束。
注意：在做查找的過程中，如果 low 指針和 high 指針的中間位置在計算時位於兩個關鍵字中間，即求得 mid 的位置不是整數，需要統一做取整操作。
折半查找的實現代碼：

/*
 * @Description: 折半查找.前提是靜態查找表中的數據必須是有序的。
 * @Version: V1.0
 * @Autor: Carlos
 * @Date: 2020-05-22 16:09:01
 * @LastEditors: Carlos
 * @LastEditTime: 2020-06-03 16:58:14
 */ 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define keyType int
typedef struct {
    //查找表中每個數據元素的值
    keyType key;
    //如果需要，還可以添加其他屬性
}ElemType;

typedef struct{
    //存放查找表中數據元素的數組
    ElemType *elem;
    //記錄查找表中數據的總數量
    int length;
}SSTable;
/**
 * @Description: 創建查找表
 * @Param: SSTable **st 指向結構體指針的指針，即指針變量的指針,int length 創建的二叉樹的長度
 * @Return: 無
 * @Author: Carlos
 */
void Create(SSTable **st,int length){
    (*st)=(SSTable*)malloc(sizeof(SSTable));
    (*st)->length=length;
    (*st)->elem = (ElemType*)malloc((length+1)*sizeof(ElemType));
    printf("輸入表中的數據元素：\n");
    //根據查找表中數據元素的總長度，在存儲時，從數組下標爲 1 的空間開始存儲數據
    for (int i=1; i<=length; i++) {
        scanf("%d",&((*st)->elem[i].key));
    }
}
//折半查找算法
/**
 * @Description: 折半查找算法
 * @Param: SSTable *ST 指向結構體的指針,keyType key 要插入的元素
 * @Return: 成功的返回key在查找表中的位置，否則返回0
 * @Author: Carlos
 */
int Search_Bin(SSTable *ST,keyType key){
    //初始狀態 low 指針指向第一個關鍵字
    int low=1;
    //high 指向最後一個關鍵字
    int high=ST->length;
    int mid;
    while (low<=high) {
        //int 本身爲整形，所以，mid 每次爲取整的整數
        mid=(low+high)/2;
        //如果 mid 指向的同要查找的相等，返回 mid 所指向的位置
        if (ST->elem[mid].key==key)
        {
            return mid;
        }
        //如果mid指向的關鍵字較大，則更新 high 指針的位置
        else if(ST->elem[mid].key>key)
        {
            high=mid-1;
        }
        //反之，則更新 low 指針的位置
        else{
            low=mid+1;
        }
    }
    return 0;
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    SSTable *st;
    Create(&st, 11);
    getchar();
    printf("請輸入查找數據的關鍵字：\n");
    int key;
    scanf("%d",&key);
    int location=Search_Bin(st, key);
    //如果返回值爲 0，則證明查找表中未查到 key 值，
    if (location==0) {
        printf("查找表中無該元素");
    }else{
        printf("數據在查找表中的位置爲：%d",location);
    }
    return 0;
}

二叉查找樹

動態查找表中做查找操作時，若查找成功可以對其進行刪除；如果查找失敗，即表中無該關鍵字，可以將該關鍵字插入到表中。
動態查找表的表示方式有多種，本節介紹一種使用樹結構表示動態查找表的實現方法——二叉排序樹（又稱爲“二叉查找樹”）。

二叉查找樹概念

二叉排序樹要麼是空二叉樹，要麼具有如下特點：

二叉排序樹中，如果其根結點有左子樹，那麼左子樹上所有結點的值都小於根結點的值；
二叉排序樹中，如果其根結點有右子樹，那麼右子樹上所有結點的值都大小根結點的值；
二叉排序樹的左右子樹也要求都是二叉排序樹；

例如，圖 5 就是一個二叉排序樹：

圖5

使用二叉排序樹查找關鍵字

二叉排序樹中查找某關鍵字時，查找過程類似於次優二叉樹，在二叉排序樹不爲空樹的前提下，首先將被查找值同樹的根結點進行比較，會有 3 種不同的結果：

如果相等，查找成功；
如果比較結果爲根結點的關鍵字值較大，則說明該關鍵字可能存在其左子樹中；
如果比較結果爲根結點的關鍵字值較小，則說明該關鍵字可能存在其右子樹中；
實現函數爲：（運用遞歸的方法）

/**
 * @Description: 二叉排序樹查找算法
 * @Param: BiTree T  KeyType key  BiTree f BiTree *p
 * @Return: 刪除成功 TRUE 刪除失敗 FALSE
 * @Author: Carlos
 */
int SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree *p)
{
    //如果 T 指針爲空，說明查找失敗，令 p 指針指向查找過程中最後一個葉子結點，並返回查找失敗的信息
    if (!T)
    {
        *p = f;
        return FALSE;
    }
    //如果相等，令 p 指針指向該關鍵字，並返回查找成功信息
    else if (key == T->data)
    {
        *p = T;
        return TRUE;
    }
    //如果 key 值比 T 根結點的值小，則查找其左子樹；反之，查找其右子樹
    else if (key < T->data)
    {
        return SearchBST(T->lchild, key, T, p);
    }
    else
    {
        return SearchBST(T->rchild, key, T, p);
    }
}

二叉排序樹中插入關鍵字

二叉排序樹本身是動態查找表的一種表示形式，有時會在查找過程中插入或者刪除表中元素，當因爲查找失敗而需要插入數據元素時，該數據元素的插入位置一定位於二叉排序樹的葉子結點，並且一定是查找失敗時訪問的最後一個結點的左孩子或者右孩子。
例如，在圖 1 的二叉排序樹中做查找關鍵字 1 的操作，當查找到關鍵字 3 所在的葉子結點時，判斷出表中沒有該關鍵字，此時關鍵字 1 的插入位置爲關鍵字 3 的左孩子。
所以，二叉排序樹表示動態查找表做插入操作，只需要稍微更改一下上面的代碼就可以實現，具體實現代碼爲：

/**
 * @Description: 二叉排序樹查找算法
 * @Param: BiTree T  KeyType key  BiTree f BiTree *p
 * @Return: 刪除成功 TRUE 刪除失敗 FALSE
 * @Author: Carlos
 */
int SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree *p)
{
    //如果 T 指針爲空，說明查找失敗，令 p 指針指向查找過程中最後一個葉子結點，並返回查找失敗的信息
    if (!T)
    {
        *p = f;
        return FALSE;
    }
    //如果相等，令 p 指針指向該關鍵字，並返回查找成功信息
    else if (key == T->data)
    {
        *p = T;
        return TRUE;
    }
    //如果 key 值比 T 根結點的值小，則查找其左子樹；反之，查找其右子樹
    else if (key < T->data)
    {
        return SearchBST(T->lchild, key, T, p);
    }
    else
    {
        return SearchBST(T->rchild, key, T, p);
    }
}
/**
 * @Description: 二叉樹插入函數
 * @Param: BiTree *T 二叉樹結構體指針的指針  ElemType e 要插入的元素
 * @Return: 刪除成功 TRUE 刪除失敗 FALSE
 * @Author: Carlos
 */
int InsertBST(BiTree *T, ElemType e)
{
    BiTree p = NULL;
    //如果查找不成功，需做插入操作
    if (!SearchBST((*T), e, NULL, &p))
    {
        //初始化插入結點
        BiTree s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTree));
        s->data = e;
        s->lchild = s->rchild = NULL;
        //如果 p 爲NULL，說明該二叉排序樹爲空樹，此時插入的結點爲整棵樹的根結點
        if (!p)
        {
            *T = s;
        }
        //如果 p 不爲 NULL，則 p 指向的爲查找失敗的最後一個葉子結點，只需要通過比較 p 和 e 的值確定 s 到底是 p 的左孩子還是右孩子
        else if (e < p->data)
        {
            p->lchild = s;
        }
        else
        {
            p->rchild = s;
        }
        return TRUE;
    }
    //如果查找成功，不需要做插入操作，插入失敗
    return FALSE;
}

通過使用二叉排序樹對動態查找表做查找和插入的操作，同時在中序遍歷二叉排序樹時，可以得到有關所有關鍵字的一個有序的序列。
例如，假設原二叉排序樹爲空樹，在對動態查找表 {3，5，7，2，1} 做查找以及插入操作時，可以構建出一個含有表中所有關鍵字的二叉排序樹，過程如圖6 所示:

圖6
通過不斷的查找和插入操作，最終構建的二叉排序樹如圖 6（5）所示。當使用中序遍歷算法遍歷二叉排序樹時，得到的序列爲：1 2 3 5 7 ，爲有序序列。
一個無序序列可以通過構建一棵二叉排序樹，從而變成一個有序序列。

二叉排序樹中刪除關鍵字

在查找過程中，如果在使用二叉排序樹表示的動態查找表中刪除某個數據元素時，需要在成功刪除該結點的同時，依舊使這棵樹爲二叉排序樹。
假設要刪除的爲結點 p，則對於二叉排序樹來說，需要根據結點 p 所在不同的位置作不同的操作，有以下 3 種可能：

結點 p 爲葉子結點，此時只需要刪除該結點，並修改其雙親結點的指針即可；
結點 p 只有左子樹或者只有右子樹，此時只需要將其左子樹或者右子樹直接變爲結點 p 雙親結點的左子樹即可；
結點 p 左右子樹都有，此時有兩種處理方式：
(1).令結點 p 的左子樹爲其雙親結點的左子樹；結點 p 的右子樹爲其自身直接前驅結點的右子樹，如圖7所示；

圖7
(2)用結點 p 的直接前驅（或直接後繼）來代替結點 p，同時在二叉排序樹中對其直接前驅（或直接後繼）做刪除操作。如圖 8 爲使用直接前驅代替結點 p：

圖8
圖 8中，在對左圖進行中序遍歷時，得到的結點 p 的直接前驅結點爲結點 s，所以直接用結點 s 覆蓋結點 p，由於結點 s 還有左孩子，根據第 2 條規則，直接將其變爲雙親結點的右孩子。
具體實現代碼：（可運行）

/*
 * @Description: 二叉查找樹
 * @Version: V1.0
 * @Autor: Carlos
 * @Date: 2020-06-02 15:50:31
 * @LastEditors: Carlos
 * @LastEditTime: 2020-06-03 16:49:46
 */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define ElemType int
#define KeyType int
/* 二叉排序樹的節點結構定義 */
typedef struct BiTNode
{
    int data;
    struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTree;
/**
 * @Description: 二叉排序樹查找算法
 * @Param: BiTree T  KeyType key  BiTree f BiTree *p
 * @Return: 刪除成功 TRUE 刪除失敗 FALSE
 * @Author: Carlos
 */
int SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree *p)
{
    //如果 T 指針爲空，說明查找失敗，令 p 指針指向查找過程中最後一個葉子結點，並返回查找失敗的信息
    if (!T)
    {
        *p = f;
        return FALSE;
    }
    //如果相等，令 p 指針指向該關鍵字，並返回查找成功信息
    else if (key == T->data)
    {
        *p = T;
        return TRUE;
    }
    //如果 key 值比 T 根結點的值小，則查找其左子樹；反之，查找其右子樹
    else if (key < T->data)
    {
        return SearchBST(T->lchild, key, T, p);
    }
    else
    {
        return SearchBST(T->rchild, key, T, p);
    }
}
/**
 * @Description: 二叉樹插入函數
 * @Param: BiTree *T 二叉樹結構體指針的指針  ElemType e 要插入的元素
 * @Return: 刪除成功 TRUE 刪除失敗 FALSE
 * @Author: Carlos
 */
int InsertBST(BiTree *T, ElemType e)
{
    BiTree p = NULL;
    //如果查找不成功，需做插入操作
    if (!SearchBST((*T), e, NULL, &p))
    {
        //初始化插入結點
        BiTree s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTree));
        s->data = e;
        s->lchild = s->rchild = NULL;
        //如果 p 爲NULL，說明該二叉排序樹爲空樹，此時插入的結點爲整棵樹的根結點
        if (!p)
        {
            *T = s;
        }
        //如果 p 不爲 NULL，則 p 指向的爲查找失敗的最後一個葉子結點，只需要通過比較 p 和 e 的值確定 s 到底是 p 的左孩子還是右孩子
        else if (e < p->data)
        {
            p->lchild = s;
        }
        else
        {
            p->rchild = s;
        }
        return TRUE;
    }
    //如果查找成功，不需要做插入操作，插入失敗
    return FALSE;
}
/**
 * @Description: 刪除節點的函數
 * @Param: BiTree *p 指向結構體指針的指針
 * @Return: 刪除成功 TRUE
 * @Author: Carlos
 */
int Delete(BiTree *p)
{
    BiTree q, s;
    //情況 1，結點 p 本身爲葉子結點，直接刪除即可
    if (!(*p)->lchild && !(*p)->rchild)
    {
        *p = NULL;
    }
    //左子樹爲空，只需用結點 p 的右子樹根結點代替結點 p 即可；
    else if (!(*p)->lchild)
    {
        q = *p;
        *p = (*p)->rchild;
        free(q);
        q = NULL;
    }
    //右子樹爲空，只需用結點 p 的左子樹根結點代替結點 p 即可；
    else if (!(*p)->rchild)
    {
        q = *p;
        //這裏不是指針 *p 指向左子樹，而是將左子樹存儲的結點的地址賦值給指針變量 p
        *p = (*p)->lchild;
        free(q);
        q = NULL;
    }
    //左右子樹均不爲空，採用第 2 種方式
    else
    {
        q = *p;
        s = (*p)->lchild;
        //遍歷，找到結點 p 的直接前驅
        while (s->rchild)
        {
            //指向p節點左子樹最右邊節點的前一個。保留下來
            q = s;
            s = s->rchild;
        }
        //直接改變結點 p 的值
        (*p)->data = s->data;
        //判斷結點 p 的左子樹 s 是否有右子樹，分爲兩種情況討論  如果有右子樹，s一定會指向右子樹的葉子節點。q 此時指向的是葉子節點的父節點。 q != *p二者不等說明有右子樹
        if (q != *p)
        {
            //若有，則在刪除直接前驅結點的同時，令前驅的左孩子結點改爲 q 指向結點的孩子結點
            q->rchild = s->lchild;
        }
        else
        //q == *p ==NULL 說明沒有右子樹
        {
            //否則，直接將左子樹上移即可
            q->lchild = s->lchild;
        }
        free(s);
        s = NULL;
    }
    return TRUE;
}
/**
 * @Description: 刪除二叉樹中的元素
 * @Param: BiTree *T 指向二叉樹結構體的指針 int key 要刪除的元素
 * @Return: 刪除成功 TRUE 刪除失敗 FALSE
 * @Author: Carlos
 */
int DeleteBST(BiTree *T, int key)
{
    if (!(*T))
    { //不存在關鍵字等於key的數據元素
        return FALSE;
    }
    else
    {
        if (key == (*T)->data)
        {
            Delete(T);
            return TRUE;
        }
        else if (key < (*T)->data)
        {
            //使用遞歸的方式
            return DeleteBST(&(*T)->lchild, key);
        }
        else
        {
            return DeleteBST(&(*T)->rchild, key);
        }
    }
}
/**
 * @Description: 中序遍歷輸出二叉樹
 * @Param: BiTree t 結構體變量
 * @Return: 無
 * @Author: Carlos
 */
void order(BiTree t) 
{
    if (t == NULL)
    {
        return;
    }
    order(t->lchild);
    printf("%d ", t->data);
    order(t->rchild);
}
int main()
{
    int i;
    int a[5] = {3, 4, 2, 5, 9};
    BiTree T = NULL;
    for (i = 0; i < 5; i++)
    {
        InsertBST(&T, a[i]);
    }
    printf("中序遍歷二叉排序樹：\n");
    order(T);
    printf("\n");
    printf("刪除3後，中序遍歷二叉排序樹：\n");
    DeleteBST(&T, 3);
    order(T);
}

查找算法之順序查找，折半查找，二叉查找樹

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查找表的概念

順序查找

折半查找

折半查找算法

二叉查找樹

二叉查找樹概念

使用二叉排序樹查找關鍵字

二叉排序樹中插入關鍵字

二叉排序樹中刪除關鍵字

查找算法之順序查找，折半查找，二叉查找樹

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帶你一文看懂二叉樹的先（中、後）序遍歷以及層次遍歷（圖解+遞歸/非遞歸代碼實現）

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