二維圖形裁剪

一、點裁剪

對於點$P(x, y)$在窗口內的充分必要條件是：
$\begin{cases} W_{x_l}\leq x \leq W{x_r}\\ W_{y_l}\leq x\leq W{y_r} \end{cases}$
滿足上述條件的不等式組的點應該在窗口內；

二、線段裁剪

2.1 基本概念

1. 線段相對於該窗口的情況有
   （1）線段全部位於窗口的內部（A）；
   （2）線段全部位於窗口外部（B、C）；
   （3）線段的中間部分在窗口內，而二端點在窗口外部（D）；
   （4）線段的一端在窗口內，而另一端在窗口外（E）；

2. 待裁剪線段和窗口的關係
   （1）線段完全可見；
   （2）顯然不可見 ；
   （3）線段至少有一端點在窗口之外，但非顯然不可見；

2.2 直接求交算法

• 基本思想：判斷直線與窗口的位置關係，確定該直線是完全可見、部分可見或完全不可見，然後輸出處於窗口內線段的端點，並顯示此線段。
  根據直線段和窗口的關係可知：
  （1）整條線在窗口之內。此時，不需剪裁，顯示整條線段；
  （2）整條線在窗口之外，此時，不需剪裁，不顯示整條線段；
  （3）部分線在窗口之內，部分線在窗口之外。此時，需要求出線段與窗口邊界的交點，並將窗口外的線段部分剪裁掉，顯示窗口內的部分；

2.3 Cohen-Sutherland 算法

1. 基本思想：對於每條待裁剪的線段$P_1P_2$分三種情況處理：
   （1）若$P_1P_2$完全在窗口內，則顯示該線段$P_1P_2$，簡稱“取”之；
   （2）若$P_1P_2$完全在窗口外，則丟棄該線段，簡稱“舍”之；
   （3）若線段既不滿足“取”的條件，也不滿足“舍”的條件，則求線段與窗口邊界的交點，在交點處把線段分爲兩段，其中一段完全在窗口外，可捨棄之，然後對另一段重複上述處理。
2. 編碼原則：圖形區域劃分成九個區域,四位編碼$C_tC_bC_rC_l$表示端點所處的位置。
   （1）第一位爲“1”時，表示點在$y=y_T$的上方；
   （2）第二位爲“1”時，表示點在$y=y_B$的下方；
   （3）第三位爲“1”時，表示點在$x=x_R$的右方；
   （4）第四位爲“1”時，表示點在$x=x_L$的左方;

3. 算法步驟
   （1）第一步 判別線段兩端點是否都落在窗口內，如果是，則線段完全可見；否則進入第二步；
   （2）第二步 判別線段是否爲顯然不可見，如果是，則裁剪結束；否則進行第三步；
   （3）第三步：求線段與窗口邊延長線的交點，這個交點將線段分爲兩段，其中一段顯然不可見，丟棄。對餘下的另一段重新進行第一步，第二步判斷，直至結束；

4. 編碼判斷
   對一條線段的可見性測試方法：
   （1）若線段兩個端點的四位二進制編碼全爲0000，即兩端點編碼邏輯或運算爲0，那麼該線段完全位於窗口內，可直接保留；
   （2）對兩端點的四位二進制編碼進行邏輯與運算，若結果不爲零，那麼整條線段必位於窗口外，可直接捨棄；
   （3）否則，這條線段既不能直接保留，也不能直接捨棄，它可能與窗口相交。此時，需要對線段進行再分割，即找到與窗口邊線的一個交點，根據交點位置，賦予四位二進制編碼，並對分割後的線段按照一定的順序（如左右下上）進行檢查，決定保留、捨棄或再次進行分割。重複這一過程，直到全部線段均被捨棄或保留爲止。

三、多邊形裁剪

3.2 Sutherland-Hodgman算法

1. 思路：用窗口的四條邊所在的直線依次裁剪多邊形。窗口的每條邊所在直線將二維平面分成兩部分，包含窗口一部分爲內側，稱爲可見側，另一部分不包含窗口，稱爲外側，稱不可見側。
   
   以窗口左邊界爲例我們看一下四種情況如何進行處理。假設當前處理的多邊形的邊爲SP；
   
2. 栽剪過程
   （1）使用左邊栽剪，計算$P_5P_4$以及$P_5P_1$與左邊框的交點$I_1$和$I_2$。保留可見側$I_1P_4$和$I_2P_1$並重新編號各頂點，得到裁剪結果（a）
   
   （2）使用上邊栽剪，計算$P_0P_5$以及$P_5P_4$與上邊框的交點$I_1$和$I_2$。保留可見側$I_1P_0$和$I_2P_4$並重新編號各頂點，得到裁剪結果（b）
   
   （3）使用右邊栽剪，計算$P_3P_4$以及$P_2P_3$與上邊框的交點$I_1$和$I_2$。保留可見側$I_1P_4$和$I_2P_2$並重新編號各頂點，得到裁剪結果（c）
   
   （4）使用下邊栽剪，計算$P_1P_2$以及$P_2P_3$與上邊框的交點$I_1$和$I_2$。保留可見側$I_1P_1$和$I_2P_3$並重新編號各頂點，得到裁剪結果（d）
   
   （5）依次連接各頂點得到栽剪完的多邊形（e）
   
3. 特點：裁剪算法採用流水線方式，適合硬件實現，可推廣到任意凸多邊形裁剪窗口；
4. 問題：一個凹多邊形可能被裁剪成幾個小的多邊形，如何確定這些小多邊形的邊界？
   
   輸入頂點BAFEDC，輸出頂點：V1 A V2 V3 E D V4

3.3 Weiler-Athenton算法

1. 裁剪窗口爲任意多邊形（凸、凹、帶內環）的情況；
   
2. 原理：可以用一個有內孔的凹多邊形去裁剪另一個也有內孔的凹多邊形。各多邊形的外部邊界取順時針方向，而其內部邊界或孔取逆時針方向。因此，沿多邊形的一條邊走動，其右邊爲多邊形的內部。
3. 基本概念：
   （1）被裁剪的多邊形稱爲主多邊形 PS；
   （2）裁剪窗口稱爲裁剪多邊形 PW；
   （3）主多邊形和裁剪多邊形的邊界若相交，交點必定成對地出現，其中一個交點爲主多邊形邊進入裁剪多邊形內部時的交點（稱進點），另一個交點則爲離開時的交點（稱出點）。這兩類交點分別用進點表和出點表來存放。
4. 思想：從Ps的任一頂點出發，跟蹤檢測PS的每一條邊，當PS與Pw的有效邊相交時，按如下規則處理：
   （1）若Ps的邊進入Pw，則輸出可見直線段，沿Ps的邊繼續。
   （2）若Ps的邊從Pw出來， Ps與Pw交點爲前交點，輸出Ps中到前交點的可見部分，從前交點開始，沿窗口邊界順時針檢測Pw的邊，找到Ps與Pw最靠近前交點的新交點，同時輸出由前交點以此新交點這間窗邊上的線段。
   （3）返回前交點，再沿Ps處理各條邊，直到處理完Ps的所有邊，回到起點爲止。
5. 交點的奇異情況處理
   （1）與裁剪多邊形邊重合的主多邊形的邊不參與求交點；
   （2）對於頂點落在裁剪多邊形的邊上的主多邊的邊，如果落在該裁剪邊的內側，將該頂點算作交點；而如果這條邊落在該裁剪邊的外側，將該頂點不看作交點

四、字符裁剪方法

4.1 字符的裁剪

1. 簡單裁剪方法：用點陣字符的掩膜或矢量字符的網格大小作爲字符的包圍框，若該包圍框在窗口內，則顯示字符；否則，不予顯示。
2. 精確裁剪方法：對於點陣字符，判斷組成其筆畫的每個像素點是否位於窗口內。對於矢量字符，對組成其筆畫的每條線段進行裁剪。

4.2 字符串的剪裁

字符串剪裁3種可選擇的方法。

1. 串精度裁剪
2. 字符精度裁剪
3. 字符的精密(筆畫、像素精度)剪裁

4.3 凸包

1. 引入：爲了減少計算量，在進行真正的求交計算之前，往往先用凸包等輔助結構進行粗略地比較，排除那些顯然不相交的情形。
   2.定義：一個圖形的凸包，就是包含這個圖形的凸區域（凸多邊形、凸多面體），它不是唯一的。