【密碼學競賽】橢圓曲線上的計算（多倍點問題）

我們現在所要解決的問題是實數域上的橢圓曲線問題，故方程式爲：$y^2$=$x^3$+$ax$+b

1、已知點G=（2，7）在橢圓曲線E11（1，6）上，計算2G的值。
(1)已知橢圓曲線方程E11爲：$y^2$=$x^3$+$x$+6（mod 11)
(2)求G與曲線相切時的斜率（即求導），得到直線方程
(3)將直線方程代入曲線方程，解一個三次方程

具體步驟及推導過程如下圖所示：

關於分數求模的具體做法可以參考這篇文章。

在推導的時候我弄錯了一件事，以致於怎麼推導，$y_3$的符號都不對,那就是P+Q並不在PQ上，而是在-PQ上，即P+Q關於x軸的對稱點在PQ上。

直線PQ的斜率爲k。
$k=\left\{ \begin{array}{l} \frac {y_2-y_1}{x_2-x_1},P \neq Q \\ \frac{3x^2+a}{2y},P = Q \end{array} \right.$

P+Q的座標$(x_3,y_3)$爲
$\left\{ \begin{array}{l} {x_3}=k^2-x_1-x_2 \\ {y_3}=k(x_1-x_3)-y_1 \end{array} \right.$