2019牛客國慶one D.Modulo Nine dp

題目鏈接： https://ac.nowcoder.com/acm/contest/1099/D

題意：

你要構造一個長爲 $n$ 的數字串 $a_1a_2a_3a_4....a_n$，使得其滿足 $m$ 個條件，每個條件爲一個區間 $[l_i,r_i]$ 要求 $a_{l_i}*a_{l_i+1}*...*a_{r_i}$ $mod$ $9=0$ ，問你能構造出多少這樣的串。

做法：

把題目剖析一下大概就是，在這些區間中的數字必須要至少有一個爲 $0$ 或者分解質因數後有兩個 $3$ 。那麼我們就可以把數字 $3,6$ 當做數字 $1$ ，數字 $9,0$ 當做數字 $2$ 。即要求每個區間內的和要至少爲 $2$ 。

隊友用的是記憶化搜索，大概意思 $dp[i][j][k]$ 是到達第 $i$ 個數字時，數字和爲 $0$ 的第一個區間爲 $k$ ，和爲 $1$ 的第一個區間爲 $j$ 。聽起來能懂的樣子然而…我是不會敲，膜一下膜一下…

後來看了人家的代碼學到了另一種稍微簡單一點的做法。

我們先維護好每一個右端點最大限制的左界在哪裏（即對於位置 $pos$ ，要求的最近的左區間位置在哪裏），同樣以上面的理論作爲基礎 $dp[i][j][k]$ 代表的是，到第 $i$ 個格子的時候，之前的第一個 $1$ 出現的位置爲 $j$ ，第二個 $1$ 出現的位置爲 $k(k<=j)$ 的方案數。

當然，我們需要一些前置條件限制，如果我們想要從 $dp[i-1][j][k]$ 轉移來，那麼這個 $k$ 必要滿足 $i=i-1$ 時候的情況。 如果已經滿足，那假設我們這一位放的是 $3，6$， 那麼最近的就可以變成 $dp[i][i][j]$ 即最近的有位置 $i$ 一份，假設我們這一位放的是 $0，9$， 那麼最近的就可以變成 $dp[i][i][i]$ ，即兩個最近的 $1$ 都已經是我當前枚舉的位置了。然後就轉移就可以了。

代碼

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i = (int)a;i<=(int)b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=55;
const ll mod=1e9+7;
ll dp[55][55][55],ans;
int n,m,L[55];
void add(ll &a,ll b){
    a=(a+b)%mod;
}
void init(){
    ans=0ll;
    memset(L,0,sizeof(L));
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[1][1][1]=2ll;dp[1][1][0]=2ll;
    dp[1][0][0]=6ll;
}
int main(){

    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        init();
        rep(i,1,m){
            int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
            L[y]=max(L[y],x);
        }
        rep(i,2,n){
            rep(j,0,i){
                rep(k,0,j){
                    if(k<L[i-1]) continue;
                    add(dp[i][j][k],6ll*dp[i-1][j][k]);
                    add(dp[i][i][j],2ll*dp[i-1][j][k]);
                    add(dp[i][i][i],2ll*dp[i-1][j][k]);
                }
            }
        }
        rep(j,0,n){
            rep(k,0,j){
                if(k<L[n]) continue;
                add(ans,dp[n][j][k]);
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }

    return 0;
}