編譯原理 - 文法（二）

概述

在 編譯原理 - 文法（一） 一文中，講了文法分爲四類。該分類標準由喬姆斯基於1956年提出，所以又將其稱爲喬姆斯基層次結構。

這個分類譜系把所有的文法分成四種類型：0型文法、1型文法、2型文法和3型文法。這四種文法類型依次擁有越來越嚴格的產生式規則，所能表達的語言也越來越少。

儘管表達能力比0型文法和1型文法要弱，但由於可以高效率的實現，2型文法和3型文法成爲四類文法中最重要的兩種文法類型。

前置知識

文法分類中涉及的幾個基本概念

• 字母表 Σ：字母表是字符的非空有窮集合。例如，由26個英文字母組成的集合是一個字母表，字母表中的元素稱爲符號。
• 字符串的方冪：把字符串 α 自身連接 n 次得到的串，稱爲字符串 α 的 n 次方冪。規定 $a^0 = ε（ε表示空字符串）$。

設A、B代表字母表Σ上的兩個字符串集合，基本運算如下：

• 或（合併）：$A∪B=\{α|α∈A或α∈β\}$
• 積（連接）：$AB=\{αβ|α∈A且α∈β\}$
• 克林閉包*：$A^*=A^0∪A^1∪A^2∪A^3...∪A^n∪...$
• 正則閉包+：又稱正閉包，是由克林閉包衍生出的概念。$A^*=A^0∪A^+$，$A^+=A^1∪A^2∪A^3...∪A^n∪...$

例如，$\{a, b, c\}^* = \{ε, a, b, c, aa, ab, ac, ba, bb, bc, ...\}$

0型文法（短語文法）

若對於四元組$G = (V_T, V_N, P, S)$的每個產生式 α->β，

• $α∈(V_N∪V_T)^+$
• α 至少含有一個非終結符
• $β∈(V_N∪V_T)^*$

則稱G是0型文法。

0型文法的功能相當於圖靈機。任何0型語言都是遞歸可枚舉的；遞歸可枚舉集也必定是一個0型語言。遞歸可枚舉的意思就是，你可以用類似窮舉的算法在有限時間內判定一個元素屬於該集合；對於不屬於該集合的元素，則很可能無法驗證。

一般的文法至少都是0型文法。0型文法的限制最少，所以也稱0型文法爲無限制文法。。

1型文法（上下文有關文法）

在0型文法的基礎上，滿足

• 對於每一個產生式 α→β（α→ε除外），都有$|α|≤|β|$（|α| 表示 α 的長度）。

1型文法等價於線性有界自動機。

2型文法（上下文無關文法）

在1型文法的基礎上，滿足

• 對於每一個產生式 α→β，都有 $α∈V_N$

簡單的說就是規則左邊只能是非終結符，且只有一個字符。
例如，對於產生式 $Aa→Bb$ 符合1型文法的要求，但不符合2型文法的要求，因爲α=Aa，而Ab包含終結符，且包含兩個字符。

2型文法等價於下推自動機。

3型文法（正規文法或線性文法）

在2型文法的基礎上，滿足

• A→α|αB（右線性）或A→α|Bα（左線性）

3型文法分爲左線性文法和右線性文法。

• 左線性文法：式子右邊的產生是（非終結符 + 終結符）
• 右線性文法：式子右邊的產生是（終結符 + 非終結符）

注意，左線性文法和右線性文法不能混用，即所有產生式的格式保持一致。

例如，對於如下產生式：

• A→a
• A→aB
• B→a
• B→cB

則符合3型文法的要求，且屬於右線性文法。

對於如下產生式：

• A→a
• A→aB
• B→a
• B→Bc

則不符合三型文法的要求。因爲產生式 B→Bc 屬於右線性文法，其它產生式屬於左線性文法。兩種文法不能同時出現在一種語法中。

3型文法等價於有限狀態自動機。