本文主要介紹：SPM（空間金字塔匹配）的基本原理和計算方法。
1 基本介紹
SPM 全稱是Spatial Pyramid Matching，出現的背景是bag of visual words模型被大量地用在了圖像表示（Image representation）中，但是BOVW模型完全缺失了特徵點的位置信息。SPM考慮空間信息，將圖像分成若干塊(sub-regions)，分別統計每一子塊的特徵，最後將所有塊的特徵拼接起來，形成完整的特徵，這就是SPM中的Spatial。在分塊的細節上，採用了一種多尺度的分塊方法，即分塊的粒度越大越細(increasingly fine)，呈現出一種層次金字塔的結構，這就是SPM中的Pyramid。
如下圖，對圖像採用不同的尺度進行分塊，得到不同尺度的圖像，不同尺度構成層次關係：
上圖中，不同的點可以看作不同的特徵，每層中，點的個數，可以理解爲該關鍵點或區域特徵在該層次圖像出現的頻率，統計每個特徵在不同層次圖像中分佈情況，可以得到每個特徵的金字塔：
從level 2 到level 0類似The Pyramid Match Kernel中，直方圖取不同間隔，即把level 2看做間隔爲1，有16個bin，level 1間隔爲2，得到4個bin....因此，對於兩幅圖像，用相同的尺度劃分層次，並統計每個層次中每個cells中某特徵出現的次數，得到該特徵下的金字塔。
2 計算方法
可以用和The Pyramid Match Kernel相似的方法計算兩個圖形在該特徵下的匹配程度（也可理解爲相似度）。匹配方法如下：
每個層次的匹配點數：
說明：
1. SPM介紹了兩幅圖像匹配的方法。如要用於場景分類，上式就等於M(L+1)個直方圖相交運算的和，其實也就等於一個更大的向量直接進行直方圖相交運算而已。而這個向量，就等於每個被劃分的圖像子區域上的visual words直方圖連在一起。這個特徵，就是用來分類的特徵。
2. 作者在實驗中表明，不同L下，M從200取到400對分類性能影響不大，也就是降低了碼書的大小對分類效果的影響。
3. 這個方法可以作爲一個模板，每個分塊圖像（sub-region）中統計的直方圖可以多種多樣，簡單的如顏色直方圖，也可以用HOG，這就形成了PHOG（分層梯度直方圖）。
4. 只不過這種空間分類信息仍然有侷限性-----一幅相同的圖像旋轉90度，匹配的結果就不會太高了。所以模型隱含的假設就是圖像都是正着存儲的（人都是站立的，樹都是站立的.......）。Spatial BOW （Spatial-bag-of-features[C]）好像可以解決這個問題。
5. 另外空間Pyramid的分塊方法也沒有考慮圖像中目標的完整性（僅僅是利用SIFT特徵來描述了Object），即，在對圖像分塊時，可能會把一個目標分在不同塊中。
理論原文：Beyond Bags of Features: Spatial Pyramid Matching for Recognizing Natural Scene Categories