數論----高斯消元

學了一天的高斯消元，又退了兩天，才接着補坑，唉~~自己爲什麼這麼不爭氣~~

主要的學習高斯消元的來源還是論文---何江舟的《高斯消元解線性方程組》

注意幾點：

1.equ和var分別代表方程數和未知數

2.在代碼中注意k和col的實時變化，k循環結束後表示消元后的最後一個行，col循環後的爲第var-1列（0~var）

3.注意無窮解的代碼段

4.temp=a[i][var];
for(j=0; j<var; j++) {
if(a[i][j]!=0&&j!=free_index) temp-=a[i][j]*x[j];
}
x[free_index]=temp/a[i][free_index];

這代碼段剛開始看不懂，但是其實就是手算的過程，畫一下就應該能夠明白，例如a*x+b*y=c，則求x=（c-b*y）/a；

5.注意浮點數的時候的sgn函數，有誤差所以要小心

參考鏈接：

何江舟-高斯消元法解線性方程組

[數論] 高斯消元（整型和浮點型）

高斯消元法(Gauss Elimination) 分析 & 題解 & 模板——czyuan原創

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高斯消元法，是線性代數中的一個算法，可用來求解線性方程組，並可以求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。
高斯消元法的原理是：
若用初等行變換將增廣矩陣化爲，則AX = B與CX = D是同解方程組。
所以我們可以用初等行變換把增廣矩陣轉換爲行階梯陣，然後回代求出方程的解。

以上是線性代數課的回顧，下面來說說高斯消元法在編程中的應用。

首先，先介紹程序中高斯消元法的步驟：
(我們設方程組中方程的個數爲equ，變元的個數爲var，注意：一般情況下是n個方程，n個變元，但是有些題目就故意讓方程數與變元數不同)

1. 把方程組轉換成增廣矩陣。

2. 利用初等行變換來把增廣矩陣轉換成行階梯陣。
枚舉k從0到equ – 1，當前處理的列爲col(初始爲0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素絕對值最大的列與第k行交換。如果col列中的元素全爲0，那麼則處理col + 1列，k不變。

3. 轉換爲行階梯陣，判斷解的情況。

① 無解
當方程中出現(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0時，說明是無解的。

② 唯一解
條件是k = equ，即行階梯陣形成了嚴格的上三角陣。利用回代逐一求出解集。

③ 無窮解。
條件是k < equ，即不能形成嚴格的上三角形，自由變元的個數即爲equ – k，但有些題目要求判斷哪些變元是不缺定的。
這裏單獨介紹下這種解法：
首先，自由變元有var - k個，即不確定的變元至少有var - k個。我們先把所有的變元視爲不確定的。在每個方程中判斷不確定變元的個數，如果大於1個，則該方程無法求解。如果只有1個變元，那麼該變元即可求出，即爲確定變元。

以上介紹的是求解整數線性方程組的求法，複雜度是O(n3)。浮點數線性方程組的求法類似，但是要在判斷是否爲0時，加入EPS，以消除精度問題。

整型高斯消元模板：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn =50;
int equ,var;         //有equ個方程，var個變元
int a[maxn][maxn] ;  //增廣矩陣
int x[maxn];         //解集
bool free_x[maxn];   //標記是否是不確定的變元，初始化爲true,確定爲0 

void Debug(void) {
	int i,j;
	for(i=0; i<equ; i++) {
		for(j=0; j<var+1; j++) {
			cout<<a[i][j]<<" ";
		}
		cout<<endl;
	}
	cout<<endl;
}

inline int gcd(int a,int b) {
	if(!b) return a;
	else return gcd(b,a%b);
}

inline int lcm(int a,int b) {
	return a/gcd(a,b)*b;
}
// 高斯消元法解方程組(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮點數解，但無整數解，
//-1表示無解，0表示唯一解，大於0表示無窮解，並返回自由變元的個數)
//有equ個方程，var個變元。增廣矩陣行數爲equ,分別爲0到equ-1,列數爲var+1,分別爲0到var.
int Gauss(int equ,int var) {
	int i,j,k;
	int max_r;     // 當前這列絕對值最大的行.
	int col;       //當前處理的列
	int ta,tb;
	int LCM,temp;
	int free_x_num;
	int free_index;

	for(int i=0; i<=var; i++) {
		x[i]=0;           //初始化解集 
		free_x[i]=true;
	}
    //轉換爲階梯陣.
	col=0;        // 當前處理的列
	
	for(k=0; k<equ&&col<var; k++,col++) {
		max_r=k;
		// 枚舉當前處理的行.
        // 找到該col列元素絕對值最大的那行與第k行交換.(爲了在除法時減小誤差)
		for(i=k+1; i<equ; i++) {
			if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
		}
		// 與第k行交換.
		if(max_r!=k) {
			for(j=k; j<var+1; j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
		}
		
		// 如果該col列第k行以下全是0了，則處理當前行的下一列.
		if(a[k][col]==0) {
			k--;
			continue;
		}
		// 枚舉要刪去的行.
		for(i=k+1; i<equ; i++) {
			if(a[i][col]!=0) {
				LCM=lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
				ta=LCM/abs(a[i][col]);
				tb=LCM/abs(a[k][col]);
				if(a[i][col]*a[k][col]<0) tb=-tb;  //異號的情況是相加
				for(j=col; j<var+1; j++) {
					a[i][j]=a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
				}
			}
		}
	}

	Debug();

    // 1. 無解的情況: 化簡的增廣陣中存在(0, 0, ..., a)這樣的行(a != 0).
	for(i=k; i<equ; i++) {
		// 對於無窮解來說，如果要判斷哪些是自由變元，那麼初等行變換中的交換就會影響，則要記錄交換.
		if(a[i][col]!=0) return -1;
	}
	
	// 2. 無窮解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中出現(0, 0, ..., 0)這樣的行，即說明沒有形成嚴格的上三角陣.
    // 且出現的行數即爲自由變元的個數.
	if(k<var) {
		
		// 首先，自由變元有var - k個，即不確定的變元至少有var - k個.
		for(i=k-1; i>=0; i--) {
			// 第i行一定不會是(0, 0, ..., 0)的情況，因爲這樣的行是在第k行到第equ行.
            // 同樣，第i行一定不會是(0, 0, ..., a), a != 0的情況，這樣的無解的.

			free_x_num=0;// 用於判斷該行中的不確定的變元的個數，如果超過1個，則無法求解，它們仍然爲不確定的變元.
			for(j=0; j<var; j++) {
				if(a[i][j]!=0&&free_x[j])   free_x_num++,free_index=j;
			}
			if(free_x_num>1) continue;    // 無法求解出確定的變元.
			//說明就只有一個不確定的變元free_index，那麼可以求解出該變元，且該變元是確定的.
			temp=a[i][var];
			for(j=0; j<var; j++) {
				if(a[i][j]!=0&&j!=free_index) temp-=a[i][j]*x[j];
			}
			x[free_index]=temp/a[i][free_index];    // 求出該變元.
			free_x[free_index]=0;      // 該變元是確定的.
		}
		return var-k;        // 自由變元有var - k個.
	}
	
	// 3. 唯一解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中形成嚴格的上三角陣.
    // 計算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
	for(i=var-1; i>=0; i--) {
		temp=a[i][var];
		for(j=i+1; j<var; j++) {
			if(a[i][j]!=0) temp-=a[i][j]*x[j];
		}
		if(temp%a[i][i]!=0) return -2;       // 說明有浮點數解，但無整數解.
		x[i]=temp/a[i][i];
	}
	return 0;
}

int main() {

#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
	int i,j;
	while(scanf("%d%d",&equ,&var)!=EOF) {
		memset(a,0,sizeof(a));
		for(i=0; i<equ; i++) {
			for(j=0; j<var+1; j++) {
				scanf("%d",&a[i][j]);
			}
		}
		
		Debug();
		
		int free_num=Gauss(equ,var);
		if(free_num==-1) cout<<"無解"<<endl;
		if(free_num==-2) cout<<"由浮點數解，無整數解"<<endl;
		else if(free_num>0) {
			cout<<"無窮多解！自由變元個數爲 "<<free_num<<endl;
			for(int i=0; i<var; i++) {
				if(free_x[i])  cout<<"x "<<(i+1)<<" 是不確定的"<<endl;
				else cout<<"x"<<(i+1)<<" : "<<x[i]<<endl;
			}
		} else {
			for(i=0; i<var; i++) {
				cout<<"x"<<(i+1)<<" : "<<x[i]<<endl;
			}
		}
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}

浮點數高斯消元模板：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn=10005;
const double eps=1e-12;
double a[maxn][maxn];
int equ,var;     //equ個方程,var個變量 
double x[maxn];   //解集 
bool free_x[maxn];
int n;

void Debug(void) {
	int i,j;
	for(i=0; i<equ; i++) {
		for(j=0; j<var+1; j++) {
			cout<<a[i][j]<<" ";
		}
		cout<<endl;
	}
	cout<<endl;
}

//判斷浮點數是否在誤差範圍內看作等於0 
int sgn(double x)
{
	return (x>eps)-(x<-eps);
}
// 高斯消元法解方程組(Gauss-Jordan elimination).(-1表示無解，0表示唯一解，大於0表示無窮解，並返回自由變元的個數) 
int Gauss(int equ,int var)
{
	int i,j,k;
	int max_r;   // 當前這列絕對值最大的行.  
	int col;     // 當前處理的列.
	double temp;
	int free_x_num;
	int free_index;
	 // 轉換爲階梯陣.  
	col=0;    // 當前處理的列. 
	memset(free_x,true,sizeof(free_x));
	for(k=0;k<equ&&col<var;k++,col++)
	{
		max_r=k;
		for(i=k+1;i<equ;i++)
		{
			if(sgn(fabs(a[i][col])-fabs(a[max_r][col]))>0)
		         max_r=i;
 		}
 		if(max_r!=k)
 		{
 			// 與第k行交換.  
 			for(j=k;j<var+1;j++)
 			   swap(a[k][j],a[max_r][j]);
		}
		if(sgn(a[k][col])==0)
		{
			// 說明該col列第k行以下全是0了，則處理當前行的下一列.  
			k--;continue;
		}
		for(i=k+1;i<equ;i++)
		{
			// 枚舉要刪去的行.  
			if(sgn(a[i][col])!=0)
			{
				temp=a[i][col]/a[k][col];
				for(j=col;j<var+1;j++)
				{
					a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*temp;
				}
			}
		}
	}
	
	Debug();
	
	for(i=k;i<equ;i++)
	{
		if(sgn(a[i][col])!=0)
		return -1;
	}
	if(k<var)
	{
		for(i=k-1;i>=0;i--)
		{
			free_x_num=0;
			for(j=0;j<var;j++)
			{
				if(sgn(a[i][j])!=0&&free_x[j])
				   free_x_num++,free_index=j;
			}
			if(free_x_num>1) continue;
			temp=a[i][var];
			for(j=0;j<var;j++)
			{
				if(sgn(a[i][j])!=0&&j!=free_index)
				    temp-=a[i][j]*x[j];
			}
			x[free_index]=temp/a[i][free_index];
			free_x[free_index]=0;
		}
		return var-k;
	}
	for(i=var-1;i>=0;i--)
	{
		temp=a[i][var];
		for(j=i+1;j<var;j++)
		{
			if(sgn(a[i][j])!=0)
			  temp-=a[i][j]*x[j];
		}
		x[i]=temp/a[i][i];
	}
	return 0;
}
int main() {

#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
	int i,j;
	while(scanf("%d%d",&equ,&var)!=EOF) {
		memset(a,0,sizeof(a));
		for(i=0; i<equ; i++) {
			for(j=0; j<var+1; j++) {
				scanf("%lf",&a[i][j]);
			}
		}
		
		Debug();
		
		int free_num=Gauss(equ,var);
		if(free_num==-1) cout<<"無解"<<endl;
		else if(free_num>0) {
			cout<<"無窮多解！自由變元個數爲 "<<free_num<<endl;
			for(int i=0; i<var; i++) {
				if(free_x[i])  cout<<"x "<<(i+1)<<" 是不確定的"<<endl;
				else cout<<"x"<<(i+1)<<" : "<<x[i]<<endl;
			}
		} else {
			for(i=0; i<var; i++) {
				cout<<"x"<<(i+1)<<" : "<<x[i]<<endl;
			}
		}
		cout<<endl;
	}
	return 0;
}

數論----高斯消元

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