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說起比特幣加密，橢圓曲線是被經常提到的詞，之前讀《精通比特幣》是也只是大致瀏覽了一下。認爲太過高深，所以沒有仔細研究。
最近幾天偶然間有翻起了這段，難得有閒，便沉下心來仔細研讀了一番，自認還是有些收穫的，分享出來，爲外人解謎的同時也權當最近學習的一個記錄。
正文
生成公鑰
以一個隨機生成的私鑰 k(可以理解爲一個極大的數) 爲起點，我們將其與曲線上已定義的生成點 G 相乘以獲得曲線上的另一點，也就是相應的公鑰 K。生成點是 secp256k1 標準的一部分，比特幣密鑰的生成點都是相同的：
{K = k * G}
其中 k 是私鑰，G 是生成點，在該曲線上所得的點 K 是公鑰。因爲所有比特幣用戶的生成點是相同的，一個私鑰 k 乘以 G 將得到相同的公鑰 K。k 和 K 之間的關係是固定的，但只能單向運算，即從 k 得到 K。這就是可以把比特幣地址（K的衍生）與任何人共享而不會泄露私鑰（k）的原因。
因爲其中的數學運算是單向的，所以私鑰可以轉換爲公鑰，但公鑰不能轉換回私鑰。爲實現橢圓曲線乘法，我們以1E99423A4ED27608A15A2616A2B0E9E52CED330AC530EDCC32C8FFC6A526AEDD作爲私鑰 k 與生成點 G 相乘得到其公鑰 K：
K =1E99423A4ED27608A15A2616A2B0E9E52CED330AC530EDCC32C8FFC6A526AEDD * G
公鑰 K 被定義爲一個點 K = (x, y)：
K = (x, y)
其中，
x =F028892BAD7ED57D2FB57BF33081D5CFCF6F9ED3D3D7F159C2E2FFF579DC341A
y =07CF33DA18BD734C600B96A72BBC4749D5141C90EC8AC328AE52DDFE2E505BDB
爲了展示整數點的乘法，我們將使用較爲簡單的實數範圍的橢圓曲線。請記住，其中的數學原理是相同的。我們的目標是找到生成點 G 的倍數 kG。也就是將 G相加 k 次。在橢圓曲線中，點的相加等同於從該點畫切線找到與曲線相交的另一點，然後映射到 x 軸。
曲線上得到 G、2G、4G 的幾何操作
下面針對上面這張圖說一下kG的計算過程，這裏我們假定k的值爲8。
1.已知橢圓曲線上的一點G，我們做其在曲線上的切線，此時切線與原本的橢圓曲線就會產生一個交點，這個點我們記作-2G，那麼與-2G關於x軸對稱的點就是2G了。
2.重複上面的動作，對點2G做切線，使得切線與橢圓曲線相交，交點記爲-4G，再取-4G關於x軸的對稱點，就得到了4G。
3.再次重複前面的動作，對點4G做切線，使得切線與橢圓曲線相交，交點記爲-8G，再取-8G關於x軸的對稱點，就得到了8G。
這裏8G點就是我們所說的公鑰K，點的座標就是公鑰K的x和y。
好了，上面的整個過程如果看明白了，我們接着來說爲什麼通過公鑰K得不到私鑰k。
假定我們現在已知點8G(公鑰K)，我們可以反向推出它關於x軸的對稱點-8G。到了這一步我們會發現，想通過-8G反向堆出4G變成了不可能的事情。因爲-8G是橢圓曲線上的一個點，在平面上過這個點有無數條直線，這裏或許會有一條或者幾條與橢圓曲線相切，但這些切線我們卻無從求得。或許我們可以逐條測試，通過窮舉法找出過點-8G且與橢圓曲線相切的直線，進而得到可能的點4G。但不要忘記，我們只是進行了反向推理的第一步，我們想從4G得到2G也需要同樣的計算量。這還只是我們將私鑰k定爲了8，如果私鑰k真的是我們上面的1E99423A4ED27608A15A2616A2B0E9E52CED330AC530EDCC32C8FFC6A526AEDD，那麼計算量將是不可想象的。
這就是我理解的橢圓曲線不可逆，如果大家還有其他的見解，歡迎在下面評論。大家共同學習。
作者：櫟楓x
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來源：簡書
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