1.插值方法

1.1 插值問題的提出

我們平時在數學學習的過程中，有些情況下是不知道函數 y=f(x) 的具體表達式，需要我們進一步去求解纔可以得出結果。

那麼，實驗測量對於 x=xi 有值 y=yi （ i=0，1，2，...，n）與之對應，我們可以尋求另一個函數 Φ(x) 使滿足 Φ(x) =yi=f(xi)。

諸如以上類似描述的就稱爲：插值問題，並稱 Φ(x) 爲 f(x) 的插值函數，x0，x1，x2，...，xn 稱爲插值節點。Φ(x) =yi（i=0，1，2，...，n）稱爲插值條件，即 Φ(x) =yi=f(xi) ，且 Φ(x)≈f(x)。

又如，函數解析式未知，但是我們通過實驗觀測得到的一組數據，即在某個區間 [a，b] 上給出一系列點的函數值 yi=f(xi)，或者給出函數表，下面的這張圖表示的就是插值問題的解決方法：👇👇👇

我們就是根據 y=f(x) 的圖像上的某些點，去尋求另一個函數 y=p(x) ，目標是所尋求的這個函數上的某些點需要和被插函數上的某些點相吻合，這其實就是插值問題的思想。

插值函數 p(x) 在 n+1 個互異插值節點 xi（i=0，1，...，n）處與 f(xi) 相等，在其它點就用 p(x) 的值作爲 f(x) 的近似值，這樣的一個過程就稱爲“插值”，點x稱爲插值點。

換句話說，插值就是根據被插函數給出的函數表來“插出”所需要的某些點的函數值。用 p(x) 的值作爲 f(x) 的近似值，不僅希望 p(x) 能夠較好地逼近 f(x)，而且還希望相應的函數計算過程更加簡單。

由於代數多項式具有數值計算和理論分析方便的優點，下面詳細介紹代數插值，即求一個次數不超過n次的多項式：👇👇👇

p(x) = anx^n + an-1x^(n-1) + ... + a1x + a0
上式如果滿足 p(xi) = f(xi) (i=0,1,2,...,n)
則稱 p(x) 爲 f(x) 的n次插值多項式
這種插值方法通常稱爲代數插值法,其幾何意義就是上面那張圖

爲了構造滿足插值條件 p(xi) = f(xi) (i=0，1，2，...，n) 的便於使用的插值多項式 p(x) ，先考察幾種簡單的情形，然後再推廣到一般形式，也就是下面我們要介紹的線性插值和拋物插值。

1.2 線性插值

線性插值是代數插值的最簡單形式。假設給定了函數 f(x) 在兩個互異的點 x0，x1 的值，y0 = f(x0)，y1 = f(x1)，現要求用線性函數 p(x) = ax + b 近似的代替 f(x)，選擇參數 a 和 b，使 p(xi) = f(xi) (i=0，1)，稱這樣的線性函數 p(x) 爲 f(x) 的線性插值函數。下面，我們來看一下線性插值的幾何意義：👇👇👇

我們用通過點 A(x0，f(x0)) 和 B(x1，f(x1)) 的直線近似地代替曲線 y=f(x)，由解析幾何知道，這條直線用點斜式表示爲：

下面，我們來看一個例子：👇👇👇

將 x = 115 代入上面的 p(x)線性插值函數中即可
最終的結果爲：
y = √115 ≈ p(115) = 10.714

1.3 拋物插值

拋物插值又稱二次插值，它也是常用的代數插值之一。

在這裏，我們設已知 f(x) 在三個互異點 x0，x1，x2的函數值分別爲 y0，y1，y2，要構造次數不超過二次的多項式 p(x) = a2x² + a1x + a0，使其滿足二次插值條件 p(xi) = yi（i=0，1，2）。這就是二次插值問題，它的幾何意義就是用經過3個點（x0，y0）、（x1，y1）、（x2，y2）的拋物線 p(x) 近似地代替曲線 y=f(x)，如下圖所示：👇👇👇