Codeforces Round #588 (Div. 2) C——Primes and Multiplication（唯一分解定理）

題目鏈接

C.Anadi and Domino

題意
給定 $x,n$，求$\displaystyle\prod_{i=1}^{n}f(x,i)$

定義1: 對於$g(x,p)$，定義$k$ 是 $x$ 可以整除 $p$ 的最大次冪，那麼$g(x,p)=p^k$
例如
$g(45,3)=9$，$3^2$可以整除$45$，但是$3^3$就不可以整除$45$，所以$k = 2,g(45,3)=3^2=9$

定義2:$\displaystyle f(x,y) =\prod_{p}g(y,p)[p是x的質因子]$

思路
現將 $x$ 用試除法分解質因子，然後根據一個推論：

[1,n] 中因子中含有 i 的數字個數是$\displaystyle\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$
在kuangbin的練習中（J）也用過這個推論。

找出所有的然後每次累乘 qpow(p[i],n / p[i])，在乘的過程中取餘即可。（qpow是快速冪）

下面以$x=12,n = 11$來舉例：

先打出所有的$f(x,i),i <= n$，分解 $12$ 是$2^2\ 3$
先將 $[1,11]$ 中因子有$2$的數字 中的$2$先提出來乘,$2,4,6,8,10$一共$5$個數 ，就乘上$2^5$，
這樣上圖就變成這樣
灰色代表我們已經乘過了

之後將 $11\ / \ 2$（整除），得到$5$，再找$[1,5]$中 因子有$2$的數字，是$2,4$一共$2$個數，乘上$2^2$。
這一步相當於把第二張圖中，第 $4$ 項和第 $8$ 項的 $2$ 也給乘掉。
這樣所有的 $2$就都乘完了

之後的質因子就都是這樣乘，這種方法有點埃式篩法的意思。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll __int64
using namespace std;

const int N = 1e5 + 7;
const int mod = 1e9 + 7;

int c[N],p[N],tot = 0;
int prime[N],prime_tot = 0;
bool prime_tag[N];
ll x,n;

void get_prime(){
	
	for(ll i = 2; i < N; i++) prime_tag[i] = true;
	for(ll i  = 2; i < N; i++){
		for(ll j = i * i ; j < N; j += i)
			prime_tag[j] = false;
	}
	for(int i = 2; i < N; i++)
		if(prime_tag[i]) prime[prime_tot++] = i; 
}
ll qpow(ll a,ll b){
	ll res = 1;
	while(b){
		if(b & 1){
			res = res * a % mod; 
		}
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
void divide(ll n) {
    for(int i = 0 ; i < prime_tot && prime[i]*prime[i] <= n; i++) {
        if(n % prime[i] == 0) {
            p[++tot] = prime[i];
            while(n % prime[i] == 0 && n > 1) {
               	c[tot]++;
                n /= prime[i];
            }
            if(n == 1) break;
        }
    }
    if(n > 1) {
        p[++tot] = n;
        c[tot] = 1;
    }
}
ll solve(ll m){
	ll res = 1,t;
	divide(x);
	for(int i = 1 ; i <= tot; i++){
		t = m;
		while(t){
			res = res % mod * qpow(p[i],t / p[i]) % mod;
			t /= p[i];
			//printf("res = %I64d \n",res);
		}
	}
	return res;
}
int main(){
	ll ans;
	get_prime();
	scanf("%I64d%I64d",&x,&n);
	ans = solve(n);
	printf("%I64d",ans);
	return 0;
}