組合數學（1）——二分圖

0. 前言

又到了上課的時間，組合數學的書是《組合理論及其應用》，這次從二分圖（第六章）開始講起。這本書的二分圖是從幾何的角度進行講述。這裏有個題外話，組合數學的前序課程應該是《離散數學》，主要包括數理邏輯、集合論、代數和圖論四個部分。

1. 相異代表系

1.1 定義

相異代表系是針對幾何來講的，這裏主要抓住“相異”、“代表”、“系”三個部分來進行區分，首先是系表明是一個集合，代表則是集合內每一個元素代表着一個子集（即該元素來源於這個子集），相異表明其元素各不相同。下面給出其形式化定義：

例如：$A_1=\{1,4\},A_2=\{1,2,3\},A_3=\{3,4,5\},A_4=\{3,4,5\},$其一個代表系可以是：{1,1,3,3}（有元素相同），而一個相異代表系則可以是：{1,2,3,4}（每個元素都來自不同的子集，都不相同）。

1.2 集族有相異代表系的條件

非空集合構成的集族一定有代表系，但不一定有相異代表系。那麼什麼時候集族有相異代表系呢？1935年的何氏定理告訴了我們的充要條件。

這定義比較拗口，其大致意思就是若有n個子集，從中任意選取k個子集，其並集的元素個數≥k。這裏有一個疑問，這定理有啥用啊，相異代表繫好像僅僅是爲了存在而存在啊？這個疑問我們先放一放，因爲這個問題我們後面解釋。

既然是數學，那麼給出一個定理時，一個必要的操作就是要證明它。這是一個充要條件。必要性是必然的，因爲互不相同的k個元素的並集一定是大於等於k的，下面主要證明充分性。

這裏又有一個題外話：數學的證明方法有哪些？
需要證明和整數n有關，且n爲無窮時，使用數學歸納法；
需要證明和整數n有關，且n是有限的，使用枚舉法（分類討論、分析法）
直接證明、間接證明都不太容易時，使用反證法。
如果要考慮最值、條件時，使用構造法。

這裏使用數學歸納法進行證明：
當m=1時，$|A_1|\ge1$成立。
當m<n時，假設滿足條件。
當m=n時，這裏再使用分類討論方法進行證明。
（1）對任意$1\le k\le n-1$，任意選擇$1 \le i_1 \le i_2 \le i_3\le ... \le i_k \le n$，滿足條件$|\bigcup_{i=1}^{k} A_i|\ge k+1$（這個條件比定理上的要求更嚴格）此時，取$e_n \in A_n$，使得$|\bigcup_{i=1}^{k} A_i-\{e_n\}|\ge k$
則$e_1,e_2,...,e_{n-1}$就是其（$A_i-\{e_n\}$）相異代表系，從而使得$e_1,e_2,...,e_{n-1},e_n$是其$\{A_1,A_2,...,A_n\}$的相異代表系。

以上只是比較好證明的一部分，下面證明剩餘的部分：

（2）對存在$1\le p\le n-1$，存在某種選擇$1 \le i_1 \le i_2 \le i_3\le ... \le i_p\le n$，使得$|A_1\cup A_2\cup ...\cup A_p|=p$，符合假設條件，有相異代表系$F=\{e_1,e_2,...,e_p\}$（到這裏都是在找一個前提條件）。

現在考慮剩餘的n-p個集合構成的集族$\{A_{p+1}-F, A_{p+2}-F,...,A_{p+n}-F\}$，對於任意$1\le k\le n-p$有
$|(A_{j1}-F)\cup(A_{j2}-F)\cup ... \cup(A_{jk}-F)|$
$=|(A_{j1}\cup A_{j2}\cup ... \cup A_{jk})-F|$
$=|(A_{1}\cup A_{2}\cup ... \cup A_{p}\cup A_{j1}\cup A_{j2}\cup ... \cup A_{jk})-F|$
$\ge(p+k)-p=k$
滿足定理原始條件，即$\{A_{p+1}-F, A_{p+2}-F,...,A_{p+n}-F\}$有相異代表系$\{e_{p+1},e_{p+2},...,e_{n}\}$，因此結合前提條件，就可以獲得存在相異代表系$\{e_1,e_2,...,e_n\}$。

綜上（1）（2）證畢。

1.3 集族的子集存在相異代表系

如果集合E沒有相異代表系，則最多可以有多少r元子集有相異代表系？下面這個定理告訴我們：

還是需要證明：
當 $1 \le k \le n-r$時，等式右邊是負數，不等式自動滿足。

這裏證明分爲兩步走，首先令$F=\{ f_1,f_2,...,f_{n-r}\}$,且$F\cap (A_1 \cup A_2\cup ... \cup A_n)=\varnothing$
先證明（1）：{A_1,A_2,…,A_n}的r 元子集有相異代表系，當且僅當$\{A_1 \cup F，A_2\cup F, ... ,A_n \cup F \}$有相異代表系。

先證明充分性。假設集族有r元子集相異代表係爲${e_1,e_2,...,e_r}$，顯然${e_1,e_2,...,e_r,f_1,f_2,...,f_{n-r}}$就是$\{A_1 \cup F，A_2\cup F, ... ,A_n \cup F \}$的相異代表系。

再證明必要性。假設$\{A_1 \cup F，A_2\cup F, ... ,A_n \cup F \}$有相異代表系$x_1,x_2,...,x_n$,因爲F中只有n-r個元素，所以$x_1,x_2,...,x_n$中至少有r個元素不在F中，因此$x_1,x_2,...,x_r$是$\{A_1，A_2, ... ,A_n \}$的一個相異代表系。

然後證明（2）：定理6.1.2。

根據定理6.1.1,$\{A_1 \cup F，A_2\cup F, ... ,A_n \cup F \}$有相異代表系,且
$|(A_1 \cup F) \cup (A_2 \cup F) \cup ... \cup(A_k \cup F)|\ge k$
從而
$|(A_1 \cup F) \cup (A_2 \cup F) \cup ... \cup(A_k \cup F)|$
$=|A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k \cup F |$
$=|A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k|+ | F |$
從而
$=|A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k|\ge k-(n-r)$
也就是
$=|A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_k|+(n-k）\ge r$

因此，可以有以下推論：

這個意思就是說，要使得選取的集合數最多，而其並集的個數最小。

2. 二分圖

2.1 二分圖的定義

如果一個圖的節點的集合V可以分爲2個部分，分別是X和Y，且$V=X \cup Y, X \cap Y=\empty$,且其邊均爲[x,y]其中$x \in X, y \in Y$,則該圖爲二分圖。也就是說該圖的節點兩個部分，所有的邊都在這兩個部分之間，各部分之內沒有邊，如圖所示：

這是一個非常特殊的圖結構，具有很多特性。等等，既然二分圖的定義這麼簡單，那爲啥第一章還要介紹相異代表系呢？

2.2 二分圖的匹配

上圖的一個用處就是描述“婚姻匹配”問題，（左邊都是女生，右邊都是男生，畢竟女生比男生少嘛），那這樣就是否存在一個匹配，使得女生都有歸宿。如果存在這樣一個匹配，就可以使用相異代表系表示。例如上圖可以表示爲集族：$A_1=\{y_1, y_2 \},A_2=\{y_1, y_3 \},A_3=\{y_2, y_3, y_4 \},A_4=\{y_4, y_5 \}$,則$\{[1,y_1],[2,y_3],[3,y_4],[4,y_5]\}$沒有公共節點，因此是該圖的一個匹配。（也是其集族的相異代表系）。

因此這個二分圖和相異代表系的關係如下：

2.3 二分圖的覆蓋

剛纔是從邊出發，給定結點的約束條件，從而形成匹配的概念。與之相反的，二分圖的覆蓋則從點出發，給定邊的約束條件：
如果結點集合S$\subseteq X \cup Y$,使得邊集合$\triangle$每條邊至少有一個結點在其中，則稱S爲$\triangle$的一個覆蓋。
例如，上圖中$\{1,2，3,4\}，\{3,4，y_1，y_2，y_3\}$都是$\triangle$的覆蓋

2.4 匹配與覆蓋的關係

就像上面的兩個定義一樣，一個是從邊給出約束條件（匹配），一個是從結點給出約束條件（覆蓋），但是都是對於一張二分圖的描述，那麼這兩個之間存在什麼關係呢？

我們拍腦袋想嘛，應該是匹配的邊的數量一般會小於覆蓋的節點數（因爲這是簡單圖，一個邊只能有2個節點，但是節點可以有多個邊），而且，匹配的邊一般是二分圖的邊的子集，而覆蓋的結點多半會有重複的，也就是存在冗餘。

因此，如果以匹配的最大邊數爲匹配數，以覆蓋的最小節點數爲覆蓋數，則其兩者相等。

數學就是，來一個定理，就要給出證明。這是個兩個數相等的證明，一般證明使用“夾逼”方法。

1）$首先證明匹配數\alpha \le覆蓋數\beta$
設M是二分圖的最大匹配，S爲二分圖的最小覆蓋。由於M中沒有兩邊存在公共節點，並且M中的$\alpha$條邊每邊至少有一個結點在S中，所以$\alpha \le \beta$。後半句容易理解，因爲每條邊至少會有一個節點在S中，否則S就不是覆蓋了。而前半句旨在說明$\alpha$是不重不漏計數的，因此後半句才能夠成立。

2）$接着證明匹配數\alpha \ge覆蓋數\beta$
由第一節中相異代表系最大子集數推論（6.1.1）可知，一定存在整數k，選擇$i_1,i_2,...,i_k$使得$|A_{i1}\cup A_{i2}\cup ...\cup A_{ik}|+(n-k)=\alpha$

然後，考慮證明$T=(A_{i1}\cup A_{i2}\cup ...\cup A_{ik}) \cup (X-\{i_1,i_2,...,i_k\})$爲覆蓋即可。可從兩個方面考慮，任取一條邊[x,y].
一、當$x \in \{i_1,i_2,...,i_k\}$時，存在一個點$x=i_l$，使得$y\in A_{il}$，從而$y\in T$.
二、當$x \in X-\{i_1,i_2,...,i_k\}$時，則$x\in T$。

這樣[x,y]都在T中，又因爲
$|T|=|A_{i1}\cup A_{i2}\cup ...\cup A_{ik}|+|X-\{i_1,i_2,...,i_k\}|$
$=|A_{i1}\cup A_{i2}\cup ...\cup A_{ik}|+(n-k)=\alpha$
因此T是具有$\alpha$個節點的覆蓋，而$\beta$是最小覆蓋，因此$\alpha \ge \beta$

綜上所述$\alpha=\beta$

3. 二分圖的匹配算法

蓋飯算法是來判斷一個二分圖的匹配M是否是最大匹配。如果不是，如何修改M得到更多的匹配，依此循環從而獲得最大匹配。

3.1交錯鏈

由於交錯鏈有一個特性即在關於M的交錯鏈中，不在M中的邊數比在M中的邊數多1，因此當我們反轉其邊時，就可以獲得更多的邊了。

首先給出基本鏈的定義：

基本鏈有一些性質：
若n爲偶數，則基本鏈的邊數爲偶數，此時頭結點$u_0$和尾結點$u_n$同屬於X或同屬於Y
若n爲奇數，則基本鏈的邊數爲奇數，此時頭結點$u_0$和尾結點$u_n$分別屬於X和Y。

正是有這樣的特殊性質，纔有了交錯鏈的存在：

例如：
經過這一次變換，就增加了一條邊在M中，現在有4條邊了。但是有5個節點，因此接下來，還可以再試一把。

有了交錯鏈就可以找到最大匹配了。

有了定理，本來是該高興的事，但是有定理就要證明。

首先證明必要性，即若M是具有最大邊數的匹配，則不存在關於M的交錯鏈（==>）。

如圖所示，假設存在r是M的一個交錯鏈，則$|N_0|=|M_0|+1$，令$M'=(M-M_0)\cup N_0$，由於$N_0$和$(M-M_0)$都是而二分圖的一個匹配，如果$M-M_0$與$N_0$沒有公共節點，那麼$M'$就是比$M$多1條邊的匹配。

下面證明$M-M_0$與$N_0$沒有公共節點，設$[x,y] \in N_0$。

1）若$[x,y]$是首邊（或尾邊），如圖所示，x不在$M$中，y在M中，因此y不在$M-M_0$中，因此$[x,y]$不在$M-M_0$中。

2）若[x,y]是中邊，則x,y都在$M_0$,顯然不在$M-M_0$中。

綜上所述，$M-M_0$與$N_0$沒有公共節點，因此$M'$就是比$M$多1條邊的匹配，與原條件不符，反證結束。

然後證明充分性，如圖所示，在交錯鏈中，紅色的比藍色的多一條邊。

3.2 尋找最大匹配算法

有了上面這條定理，我們就可以實現以下尋找最大匹配的算法了。

這裏我們先給出例子，然後再給出第一步結束的證明。

通過第一步，就可以找到這條紅藍相間的交錯鏈，此時是到第二步停止。我們使用紅色代替藍色，將紅色置爲粗體（在M中），藍色變回正常（不在M中），從而得到新的匹配。

再在M中再執行一次算法，可以得到紅藍邊數相等，此時已經無法繼續增加匹配中邊的數量了，因此此時算法結束，$M'$爲最大匹配。

雖然我們從直觀上可以發現並不能繼續增加更多的邊了，但是數學上，要講究證明，即證明定理6.3.2。

該定理就是要證明，若S是覆蓋，且$|S|=|M|$，則M是最大匹配。

這裏面說的比較拗口，因爲是完全從具體說法上的解釋。在證明第一個時，其反證法主要證明若$e=[x,y]$不在S中，以兩種情況考慮即$e \in M$和$e \notin M$；證明第二個則以x和y兩個角度考慮。其核心是在算法的過程中體現出來的。

3.3 判斷一個圖是否爲二分圖

這裏增加一個題目，就是如何判斷一個圖是二分圖？

當然無腦想法就是暴力解決，按照循環去遍歷不同的劃分使得該圖可以成爲兩部分，再判斷兩部分內部是否有無相連的邊。

但是這樣時間複雜度上至少是$O（n^3）$。如果能先進行一次劃分，再去判斷多好？根據二分圖的性質，在圖中，任意選取一點，將其與其連接的點按照邊數長度奇偶劃分成兩部分，再判斷這兩部分是否內部有相連即可，此時可以減少至$O(n^2)$。當然，也可以使用廣度優先算法[代碼]進行黑白着色，從而判斷一個圖是否是二分圖（時間複雜度也是$O（n^2）$）。

當然也可以從，若一個圖不存在奇數環，則該圖是二分圖入手，證明一個圖不存在奇數環即可，這個等價定理還需要證明才能夠實現。