HDU 1395 2^x mod n = 1【數學】

2^x mod n = 1

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Problem Description

Give a number n, find the minimum x(x>0) that satisfies 2^x mod n = 1.

 

 

Input

One positive integer on each line, the value of n.

 

 

Output

If the minimum x exists, print a line with 2^x mod n = 1.

Print 2^? mod n = 1 otherwise.

You should replace x and n with specific numbers.

 

 

Sample Input

2 5

 

 

Sample Output

2^? mod 2 = 1 2^4 mod 5 = 1

 

 

Author

MA, Xiao

 

 

Source

ZOJ Monthly, February 2003

 

 

解題思路：此題運用到了歐拉定理。同餘定理。

                    歐拉定理：若a,n爲正整數，且a,n互質，則      a^x≡1(mod n)

                    在這裏道題裏： 2^x mod n = 1    求2的x次方對n取餘等於1

                     ①當n==1時，2^x mod 1 ≡ 0，所以排除n==1的情況。

                     ②當n==偶數時，2^x 與 n 不會互質，2^x mod n ≠ 1，2^x對n取餘都不會等於1，所以排除n==偶數的情況。

                     ③當n==奇數時，2^x與n互質，即存在一個x使得2^x mod n = 1

                     

                     解決問題的關鍵在於如何找到x

                     我們可以列舉，當n=3時， 2^2 mod 3 =1

                                                 當n=5時， 2^4 mod 5 =1

                                                                  當n=7時， 2^3 mod 7 =1

                     我們可以直接暴力求2的x次方，直到2^x mod n = 1

			y=1;
			for(x=1;;x++)
			{
				y=y*2;
				y=y%n;				//同餘定理 
				if(y==1)
				break;
			}

                       通過一個將y初始化爲1，通過一個for循環，

                       x初始化爲1，每次循環表示2的x次方。

                       這裏運用到了同餘定理。

                       同餘定理：(a*b)%c==((a%c)*(b%c))%c

                       y=y*2每一次都對n取餘，與y^x 對n取餘結果相等。

                       以n==5爲例，2^4 mod 5==1,

                       2^4 mod 5 == ((2%5)*(2%5)*(2%5)*(2%5))%5

 

                       上式=(2^3 * 2) % 5 = ( 8 * 2 ) % 5 = ( (8%5) * (2%5) ) %5 = ( 3 * 2 )%5 = 6 % 5 =1

 

                       當x=1時，y=2^1=2， y%n =2%5=2

                       當x=2時，y=2*2=4，y%n =4%5=4

                       當x=3時，y=4*2=8，y%n =8%5=3

                       當x=4時，y=3*2=6，y%n =6%5=1

                       2^4==16，16%5==1 結果相等。

 

                       直到y==1，即餘數等於1時，跳出循環，輸出y的x次方。

 

 

AC碼

#include<stdio.h>
int main()
{
    int n,x,y;
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
		if(n%2==0||n==1)
		printf("2^? mod %d = 1\n",n);
		else
		{
			y=1;
			for(x=1;;x++)
			{
				y=y*2;
				y=y%n;				//同餘定理 
				if(y==1)
				break;
			}
			printf("2^%d mod %d = 1\n",x,n);
		}
	}
    return 0;
}