AC code：
#include <stdio.h>
int main()
{
int t,i;
_int64 n;
int a[23]={0,2,6,20,72,72,56,60,12,92,56,0,52,12,56,40,92,32,56,80,32,52,56};
int b[20]= {20,72,72,56,60,12,92,56,0,52,12,56,40,92,32,56,80,32,52,56};
while (scanf("%d",&t)!=EOF)
{
if (t==0)
return 0;
for (i=1;i<=t;i++)
{
scanf("%I64d",&n);
if (n<=22)
printf("Case %d: %d\n",i,a[n]);
else
{
n=(n-3)%20;
printf("Case %d: %d\n",i,b[n]);
}
}
printf("\n");
}
return 0;
}
問題分析
Problem Analyse 遞推題
如果沒有任何條件限制，A、B、C、D組成長度爲n的字符串，其個數應該爲:4n。
因爲有了A、C需要出現偶數次的要求，就出現合法和不合法的不同分組。
在不合法的組裏，又有
1.A出現奇數次、C出現偶數次；
2.C出現奇數次、A出現偶數次；
3.A出現奇數次、C出現奇數次；
三種情況。
我們用數組
f[n][0]保存長度爲n，合法的字符串的個數。
f[n][1]保存長度爲n，僅A出現奇數次的字符串的個數。
f[n][2]保存長度爲n，僅C出現奇數次的字符串的個數。
f[n][3]保存長度爲n，A、C出現奇數次的字符串的個數。
f[n][0]
長度爲n-1的合法字符串在末尾加上一個B或者D，都可以變成長度爲n的合法字符串。
長度爲n-1的僅A出現奇數次的字符串再在末尾加上一個A，也可以變成合法字符串。
長度爲n-1的僅C出現奇數次的字符串再在末尾加上一個C，也可以變成合法字符串。
所以，f[n][0] = 2 × f[n-1][0] + f[n-1][1] + f[n-1][2];
f[n][1]
長度爲n-1的合法字符串在末尾加上A，都可以變成長度爲n的僅A出現奇數次的字符串。
長度爲n-1的僅A出現奇數次的字符串再在末尾加上一個B或者D，也可以變成僅A出現奇數次的字
符串。
長度爲n-1的A、C出現奇數次的字符串再在末尾加上一個C，也可以變成僅A出現奇數次的字符串
。
所以，f[n][1] = 2 × f[n-1][1] + f[n-1][0] + f[n-1][3];
f[n][2]
長度爲n-1的合法字符串在末尾加上C，都可以變成長度爲n的僅C出現奇數次的字符串。
長度爲n-1的僅C出現奇數次的字符串再在末尾加上一個B或者D，也可以變成僅C出現奇數次的字
符串。
長度爲n-1的A、C出現奇數次的字符串再在末尾加上一個A，也可以變成僅C出現奇數次的字符串
。
所以，f[n][2] = 2 × f[n-1][2] + f[n-1][0] + f[n-1][3];
f[n][3]
長度爲n-1的A、C出現奇數次的字符串在末尾加上一B或者D，都可以變成長度爲n的A、C出現奇數
次的字符串。
長度爲n-1的僅A出現奇數次的字符串再在末尾加上一個C，也可以變成A、C出現奇數次的字符串
。
長度爲n-1的僅C出現奇數次的字符串再在末尾加上一個A，也可以變成A、C出現奇數次的字符串
。
所以，f[n][3] = 2 × f[n-1][3] + f[n-1][1] + f[n-1][2];
綜上所述，我們得到:
f[n][0] = 2 × f[n-1][0] + f[n-1][1] + f[n-1][2]; ①
f[n][1] = 2 × f[n-1][1] + f[n-1][0] + f[n-1][3]; ②
f[n][2] = 2 × f[n-1][2] + f[n-1][0] + f[n-1][3]; ③
f[n][3] = 2 × f[n-1][3] + f[n-1][1] + f[n-1][2]; ④
f[1][0] = 2
f[1][1] = 1
f[1][2] = 1
f[1][3] = 0
發現f[1][1]與f[1][2]初始狀態相同，而且以後迭代方程也相同，所以f[n][1] = f[n][2]
又有f[n][0] + f[n][3] = f[n][1] + f[n][2]
∵f[n][0] + f[n][1] + f[n][2] + f[n][3] = 4n
∴f[n][0] + f[n][3] = f[n][1] + f[n][2] = 2 × 4n-1
∴f[n-1][1] + f[n-1][2] = 2 × 4n-2
∴f[n][0] = 2 × f[n-1][0] + f[n-1][1] + f[n-1][2] = 2 × f[n-1][0] + 2 × 4n-2
我們得到:
f[n][0] = 2 × f[n-1][0] + 22n-3
f[n-1][0] = 2 × f[n-2][0] + 22n-5
┋
f[n-m][0] = 2 × f[n-m-1][0] + 22n-2m-3
┋
f[2][0] = 2 × f[1][0] + 21
f[1][0] = 2
開始一層層往下迭代:
f[n][0]
= 2 × f[n-1][0] + 22n-3
= 22 × f[n-2][0] + 22n-4 + 22n-3
┋
= 2m × f[n-m][0] + 22(n-m)-1+m-1 + ... + 22n-3
= 2n-1 × f[1][0] + 2n-1 + 2n +... + 22n-3
f[1][0] = 2;
∴f[n][0] = 2n + 2n-1 + 2n +... + 22n-3 = 22n-2 + 2n-1
算法實現
Programing 公式得到了:f(n) = 22n-2 + 2n-1
但就這樣直接編程那是不可能實現的，因爲n的範圍1≤N<264
怎麼的範圍，是不能求出f(n)的。所以還得找其他規律。
因爲題目只要求輸出最後2位數，我們依次輸出2的n的最後兩位看看...
20 -> 1
21 -> 2
22 -> 4
23 -> 8
24 -> 16
25 -> 32
26 -> 64
27 -> 28
28 -> 56
29 -> 12
210 -> 24
211 -> 48
212 -> 96
213 -> 92
214 -> 84
215 -> 68
216 -> 36
217 -> 72
218 -> 44
219 -> 88
220 -> 76
221 -> 52
222 -> 4
到了222時，末尾2位又變成4，與22一樣，這時候就進入了一個循環了(每20個一次循環)。
所以，結果只能是這22箇中的一個。只有n=0 和 n=1是需要特殊考慮的。其他n就等於2(n-2) %
20 + 2的值了。
原題：
"紅色病毒"問題
Time
Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1040 Accepted Submission(s): 408
Problem Description
醫學界發現的新病毒因其蔓延速度和Internet上傳播的"紅色病毒"不相上下,被稱爲"紅色病毒",經研究發現,該病毒及其變種的DNA的一條單鏈中,胞嘧啶,腺嘧啶均是成對出現的。
現在有一長度爲N的字符串,滿足一下條件:
(1) 字符串僅由A,B,C,D四個字母組成;
(2) A出現偶數次(也可以不出現);
(3) C出現偶數次(也可以不出現);
計算滿足條件的字符串個數.
當N=2時,所有滿足條件的字符串有如下6個:BB,BD,DB,DD,AA,CC.
由於這個數據肯能非常龐大,你只要給出最後兩位數字即可.
Input
每組輸入的第一行是一個整數T,表示測試實例的個數,下面是T行數據,每行一個整數N(1<=N<2^64),當T=0時結束.
Output
對於每個測試實例,輸出字符串個數的最後兩位,每組輸出後跟一個空行.
Sample Input
Sample Output
Case 1: 2
Case 2: 72
Case 3: 32
Case 4: 0
Case 1: 56
Case 2: 72
Case 3: 56
Author
Rabbit
Source
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lcy
