附加給向量的平行四邊形法則是如此直觀以至於我們不知道向量的由來。它可能出現在已經丟失的亞里士多德（公元前384-322）的研究工作中，並且出現在亞歷山大的詩《the Mechanics of Heron》（蒼鷺的力學，公元1世紀）中。它也是艾薩克·牛頓（1642-1727）的《Principia Mathematica》（數學原理，1687）的第一個定理。在這個定理中，牛頓擴展性的提到了現在認作的向量實體，例如速率，力等，但從沒提到向量的概念。向量的系統性的學習和使用是在19世紀和20世紀初。
向量一詞始於19世紀20年代，用於複數的幾何表現。Caspar Wessel（1745-1818），Jean Robert Argand（1768-1822），Car Friedrich Gauss（高斯，1777-1855），還有至少一到兩個其他人將複數想象成分佈在二維平面中的點，也就是二維向量。數學家和科學家以不同的方式應用這些新的複數，比如高斯主要利用複數來證明基礎代數理論（the Fundamental Theorem of Algebra，1799）。1837年，William Rowan Hamilton（哈密頓，1805-1865）展示了任意複數可以被看做實數的有序對(a, b)。這種想法是許多數學家，包括哈密頓自己，尋找一種方式來將二維“數字”擴展到三維空間的研究的一部分，但是沒有人能夠做到同時保留實數和複數的基本代數性質。
1827年，August Ferdinand Möbius（莫比烏斯）出版了一本小書《The Barycentric Calculus》（重心演算），在這本書裏他介紹了用英文字母表示的有向線段，除了名字外這就是向量定義的全部內容！莫比烏斯在重心和射影幾何的學習中，發展出了這些有向線段的運算，他對它們進行加法運算並且展示瞭如何用一個實數來與它們相乘。然而他的興趣並不在於此，而且也沒有人費心注意到這些計算的重要性。
哈密頓在經歷一番挫折後，最終放棄了諸如三維空間"數字"的研究轉而創造出了四維繫統，他稱之爲四元數。摘自他自己的話：1843年10月16日，
事情發生在星期一，那是我在愛爾蘭皇家科學院理事會的一天---我正走在去參加和主持，...，沿着皇家運河，突然一個想法出現在我的腦海中，我意識到它非常重要，我用小刀把它刻在了布魯厄姆橋的一塊石頭上，現在我們經過這裏的時候，還能看到這上面刻的公式。
哈密頓的公式是q = w + ix +jy +kz，w, x, y, z都是實數。哈密頓很快意識到他的公式包含兩個不同的部分，第一項他稱之爲標量，“x, y, z是三個直角座標分量，或者是投影在三個直角座標軸上的量，他（指他自己）稱之爲三項式，也是它所表示的線，VECTOR。”哈密頓用他的基礎公式，i^2
=j^2 = k^2 = -ijk = -1，來與四元數相乘，他馬上發現乘積q1q2 = -q2q1，是不可交換的。
哈密頓在1835年被封爲爵士，而在他發明四元數期間他也是一位在光學和理論物理學打下基礎成果的知名科學家，所以四元數很快就被得到認可。他繼而堅持在他餘生的22年時間裏促進四元數的發展和推廣。他寫了兩本很詳盡的書，《Lectures on Quaternions》（1853）和《Elements of Quaternions》（1866），不僅講述了四元數代數，而且分析了四元數如何應用在幾何當中。在某一時候，他說到，“我仍然很斷定，這個發現對我來說，如同17世紀導數的發現一樣，是19世紀中期很重要的一個發現。”他收了一個門徒，Peter
Guthrie Tait（1831-1901），在19世紀50年代開始將四元數應用到電磁問題和物理學問題。到了19世紀下半葉，Tait對四元數的擁護在科學界產生了很強的反響，有積極的也有消極的。
在差不多與哈密頓發現四元數的同一時間裏，Hermann Grassmann（1809-1877）著寫了《The Calculus of Extension》（線性擴張論，1844），現今它的德語標題爲人們熟知，Ausdehnungslehre。在1832年，Grassmann開始了“一項新的幾何計算”的研究，作爲他的潮汐理論的研究部分，並且他隨後利用這些工具簡化了兩個經典工作的部分內容，Joseph Louis Lagrange（拉格朗日，1736-1813）的分析力學和Pierre Simon
Laplace（拉普拉斯，1749-1827）的天體力學。在他的書《Ausdehnungslehre》中，首先，Grassmann將人們熟知的二維和三維的向量概念擴展到任意維度n，這大大擴展了空間的思想；其次，也是更廣泛運用的，Grassmann過早地提出了後來的矩陣、線性代數、向量和張量分析。
不幸的是，《Ausdehnungslehre》有兩大缺憾。首先，它是高度抽象的，缺乏解釋性的例子，並且是使用過度複雜的符號等這樣一種很模糊的方式來著寫的，以至於即使莫比烏斯在對它進行很嚴謹的研究後還是不能完全理解它。其次，Grassmann只是一個沒什麼主要的科學榮譽的中學教師（相比於哈密頓）。然而即使他的成果絕大部分被忽略，Grassmann仍然在19世紀40年代和50年代通過將它們應用到電氣力學和幾何中的曲線、曲面來推廣他的成果，但是總體上並沒有成功。在1862年，Grassmann出版了有更多修訂的第二版《Ausdehnungslehre》，但是對於那個時期的數學家來說仍然是過於模糊和抽象的，基本上這個版本跟第一個版本一樣遭遇了失敗。在他的餘生中，他繞開數學轉而在語音學和比較語言學的研究生涯中取得了第二個很大的成功。最終，在19世紀60年代末和70年代，《Ausdehnungslehre》開始慢慢被理解和認識，Grassmann開始在他的預言性的數學方面獲得一些肯定。1878年，Grassmann死後的一年，第三版《Ausdehnungslehre》出版。
在19世紀中期，Benjamin Peirce（1809-1880）無疑是美利堅衆合國最傑出的數學家，他認爲哈密頓是“四元數的不朽的作者。”Peirce在1833年到1880年在哈弗大學任職數學和天文學的教授，並寫下了著作《System of Analytical Mechanics》（分析力學系統，1855，第二版1872），在這本書中，令人驚訝的是，他並沒有提到四元數。當然，Peirce在他的書《Linear Associative Algebra》（線性結合代數，1870）中詳細闡述了他稱爲“精彩的代數空間”的四元數，這是一本純抽象代數的書。據報道，四元數是Peirce很喜歡的學科，他的許多學生最終成爲了數學家並且在這個學科上寫了很多的書和論文。
James Clerk Maxwell（麥克斯韋，1832-1879）是一個具有洞察力和批判精神的四元數擁護者。他和Tait是蘇格蘭人，他們一起在愛丁堡和劍橋大學學習，而且他們在數理物理學有着共同的興趣。在他稱爲“物理量的數學劃分”中，他將物理量分成兩類，標量和矢量。根據這個分類，他指出了使用四元數使由Lord Kelvin（Sir William Thomson，1824-1907）在熱流動和靜電力分佈中發現的物理學的數學類比清晰化。他在他的論文尤其是有影響力的《Treatise
on Electricitty and Magnetism》（電和磁的論述，1873）中，強調了他描述的“四元數想法或者是向量學說”作爲一種“數學方法，一種思考的方式”的重要性。同時，他指出了四元數乘積的不均勻性，並提醒科學家們在涉及到它的三個矢量分量的細節時不要使用四元數方法。本質上，麥克斯韋是在暗示純粹的向量分析。
William Kingdon Clifford（1845-1879）對Grassmann的《Ausdehnungslehre》表達了深深的敬佩，並更喜歡向量（他經常稱之爲“steps”）而非四元數。在他的《Elements of Dynamics》（動態元素，1878），Clifford把兩四元數的乘積拆分成兩個很不相同的向量乘積，他稱之爲數量積（現在也稱爲點乘）和向量積（現在也稱爲叉乘）。對於向量分析，他斷言“我確信它的法則將對數學科學的未來產生廣泛的影響。”儘管《Element
of Dynamic》被認爲是向量分析的首部教材，但是由於Clifford在很早就去世了，他沒能有機會繼續去研究這些想法。
現今據我們所知，向量代數和向量分析的發展第一次在J. Willard Gibbs（1839-1903）於耶魯大學爲他的學生所做的一系列的著名的筆記中顯露出來。Gibbs是康涅狄格州的紐黑文本地人（他父親也是耶魯大學的教授），他主要的科學成就是物理學中的熱力學。麥克斯韋非常支持Gibbs在熱力學的成果，尤其是幾何表現。Gibbs在讀麥克斯韋的《Treatise on Electricity and Magnetism》時，書中向他介紹了四元數，他自己還研究了Grassmann的《Ausdehnungslehre》。他覺得向量將會是他在物理學的工作中一項有效的工具。所以在1881年，Gibbs開始私下爲他的學生打印他在向量分析上的筆記，後來被廣泛地分發給了美國、英國和歐洲的學者。現代向量分析英文版的第一本書是《Vector
Analysis》（向量分析，1901），這本書裏，Gibb帶的最後一屆的一個畢業生Edwin B. Wilson（1879-1964）收錄了Gibbs的筆記。諷刺的是，Wilson並沒有拿到哈弗大學的學士學位，他是在哈弗大學跟他的教授James Mills Peirce（1834-1906，Benjamin Peirce的一個兒子）學的四元數。Gibbs/Wilson的書在1960年重新印刷了平裝版。Jean Frenet（1816-1890）對向量的現代理解和使用做出了其他的貢獻。Frenet在1840年考入巴黎高等師範學校，然後在圖盧茲學習並在這裏於1847年完成了他的博士論文。這篇論文提出了空間曲線理論和弗萊納公式（TNB標架，單位切向量T，單位法向量N，單位副法向量B）。Frenet只給出了6個公式而Serret給出了9個。Frenet於1852年在純粹數學雜誌上發表了這個成果。
在19世紀90年代和20世紀頭10年裏，當很多科學家和數學家在設計他們自己的向量方法時，Tait和其他一些人就嘲笑向量而爲四元數辯護。Oliver Heaviside（1850-1925），一個深受麥克斯韋影響的自修的物理學家，在他發表的論文和《Electromagnetic Theory》(電磁理論，三卷，1893，1899,1912)中，抨擊四元數而發展出了他自己的向量分析。Heaviside得到了Gibbs的筆記的副本並且高度讚揚它們。在麥克斯韋的電和磁的理論引進德國（1894）時，向量方法同時也被提倡並且德語版的向量分析的很多書籍也出現了。向量方法也被引進了意大利（1887,1888,1897），俄羅斯（1907）和荷蘭（1903）。現在向量是很多物理學和應用數學的現代語言，而且他們也會繼續保持着自身內在的數學特徵。
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