學習Shader所需的數學基礎（矩陣）

在三維數學中，我們通常會使用矩陣來進行變換。一個矩陣可以把一個矢量從一個座標空間轉換到另一個座標空間。

矢量和矩陣

我們可以用矩陣來表示矢量。實際上，矢量可以看成是n×1的列矩陣或1×n的行矩陣，其中n對應了矢量的維度。
把矢量和矩陣聯繫在一起的原因是爲了讓矢量可以像一個矩陣一樣參與矩陣的運算。

矩陣的運算

矩陣和標量的乘法

矩陣和標量相乘，結果仍然是一個相同維度的矩陣
它們之間的乘法非常簡單，就是矩陣的每個元素和該標量相乘。

公式

矩陣和矩陣的乘法

一個r×n的矩陣A和一個n×c的矩陣B相乘，它們的結果AB將會是一個r×c大小的矩陣。這意味着，矩陣相乘，第一個矩陣的列數必須和第二個矩陣的行數相同。

公式

設兩個矩陣A和B相乘的結果是矩陣C，那麼，C中的每一個元素C_ij等於A的第i行所對應矢量和B的第j列所對應矢量的點積

以一個簡單的方式解釋：對於每個元素C_ij，我們找到A中的第i行和B中的第j列，然後把他們的對應元素相乘後再加起來，這個和就是C_ij

性質

• 矩陣乘法不滿足交換律
• 矩陣乘法滿足結合律
  

方塊矩陣

方塊矩陣，簡稱方陣，是指那些行和列數目相等的矩陣。在三維渲染裏，最常使用的就是3×3和4×4的方陣
方陣的對角元素指的是行號和列號相等的元素。
如果一個矩陣除了對角元素外的所有元素都爲0，那麼這個矩陣就叫做對角矩陣
一個4×4的對角矩陣：

單位矩陣

如果一個對角矩陣的對角元素都爲1，那麼這個矩陣被稱爲單位矩陣。一個3×3的單位矩陣如下所示：

任何矩陣和單位矩陣相乘的結果都還是原來的矩陣。這就跟標量中的1一樣。

轉置矩陣

轉置矩陣實際上是通過對原矩陣進行轉置運算得到的。給定一個r×c的矩陣M，它的轉置矩陣可以表示成M^T，這是一個c×r的矩陣。轉置運算就是把原矩陣翻轉一下，即原矩陣的第i行變成了第j列，而第j列變成了第i行。
如果一個矩陣的轉置矩陣是其本身，則我們稱其爲對稱矩陣

公式

對於行矩陣和列矩陣來說，我們可以使用轉置運算來相互轉換：

性質

• 矩陣轉置的轉置等於原矩陣
  
• 矩陣的串接的轉置，等於反向串接各個矩陣的轉置。這個性質可以擴展到更多矩陣相乘的情況
  

矩陣的行列式

矩陣M的行列式用|M|表示

公式

對於2×2矩陣：

對於3×3矩陣，可以展開爲2×2矩陣：
$A = \left[ \begin{matrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right]$

同理，對於4×4矩陣，可以展開爲3×3矩陣：
$A = \left[ \begin{matrix} a & b & c & d\\ e & f & g & h\\ i & j & k & l\\ m & n & o & p \end{matrix} \right]$

可以理解爲對於矩陣第一行的每個元素，都乘以去除該元素所在行和列後剩下矩陣的行列式，然後把結果按照+ －+－的規律加/減起來。

逆矩陣

給定一個方陣M，它的逆矩陣用M^-1來表示。逆矩陣最重要的性質就是把M和M^-1相乘，那麼它們的結果將會是一個單位矩陣
只有方陣纔有逆矩陣，且並不是所有的方陣都有逆矩陣。
如何判斷一個矩陣是否可逆：如果一個矩陣的行列式不爲0，那麼它就是可逆的。
例如所有元素都爲0的方陣就沒有逆矩陣
如果一個矩陣有對應的逆矩陣，我們就說這個矩陣是可逆的或者說是非奇異的。否則這個矩陣就是不可逆的或者說是奇異的

公式

性質

• 逆矩陣的逆矩陣是原矩陣本身
  
• 單位矩陣的逆矩陣是它本身
  
• 轉置矩陣的逆矩陣是逆矩陣的轉置
  
• 矩陣串接相乘後的逆矩陣等於反向串接各個矩陣的逆矩陣。這個性質可以擴展到更多矩陣相乘的情況
  

逆矩陣是有幾何意義的，一個矩陣可以表示一個變換，而逆矩陣允許我們還原這個變換。假設，我們使用變換矩陣M對矢量進行了一次變換，然後再使用M的逆矩陣M^-1進行另一次變換，那麼我們會得到原來的矢量。

正交矩陣

如果一個方陣M和它的轉置矩陣的乘積是單位矩陣的話，我們就稱這個矩陣是正交的
再結合逆矩陣的公式，我們可以知道，如果一個矩陣是正交的，那麼它的轉置矩陣和逆矩陣是一樣的

公式

在三維變換中，我們經常會使用逆矩陣來求解反向的變換。但逆矩陣的求解往往計算量很大，而如果我們可以確定這個矩陣是正交矩陣的話，就可以直接通過轉置矩陣得到逆矩陣。
那麼如何判斷的一個矩陣是否是正交矩陣呢，當然可以通過公式計算判斷，但這仍然需要一定的計算量，有時候我們更希望不通過計算，而根據一個矩陣的構造過程來判斷這個矩陣是否是正交矩陣
根據正交矩陣的定義可以得到：

這樣，我們就有個9個等式：

可以得到如下結論：

• 矩陣的每一行（即c₁，c₂，c₃）都是單位矢量，因爲它們與自己的點積爲1
• 矩陣的每一行（即c₁，c₂，c₃）都互相垂直，因爲它們互相的點積爲0（參考點積的公式|a||b|cosθ）
• 上述的兩條結論對每一列也同樣適用。因爲M是正交矩陣的話，M^T也是正交矩陣

也就說如果一個矩陣滿足上面的條件，那麼它就是一個正交矩陣。

行矩陣還是列矩陣

由於一個矢量既可以轉換成一個行矩陣也可以轉換成列矩陣，雖然它們本身是沒有區別的，但當我們需要把它和另一個矩陣相乘時，就會出現差異，因爲矩陣的乘法是不滿足交換律的。
在Unity中，常規做法是把矢量放在矩陣的右側，即把矢量轉換成列矩陣來進行計算。此時我們的閱讀順序是從右到左的。即對矢量v先使用A進行變換，再使用B進行變換，最後使用C進行變換。

矩陣的幾何意義：變換

在遊戲的世界中，變換一般包含了旋轉，縮放和平移。遊戲開發人員希望給定一個點或矢量，再給定一個變換，就可以通過某個數學運算來求得新的點和矢量。而使用矩陣可以完美地解決這個問題。

什麼是變換

變換指的是我們把一些數據，如點，方向矢量，甚至是顏色等，通過某種方式進行轉換的過程。
線性變換指的是那些可以保留矢量加和標量乘的變換。用數學公式來表示這兩個條件就是：

縮放就是一種線性變換，例如f(x) = 2x，可以表示一個大小爲2的統一縮放
旋轉也是一種線性變換
如果我們要對一個三維的矢量進行線性變換，那麼僅僅使用3×3的矩陣就可以表示所有的線性變換。
線性變換除了包括旋轉和縮放外，還包括錯切，鏡像（反射），正交投影等。
仿射變換就是合併線性變換和平移變換的變換類型。仿射變換可以使用一個4×4的矩陣來表示。

齊次座標

由於3×3矩陣不能表示一個平移操作，我們就將其擴展到了4×4的矩陣。爲此，我們還需要把原來的三維矢量轉換成四維座標，也就是齊次座標（齊次座標的維度可以超過四維，但本文泛指四維齊次座標）。
如何把一個三維矢量轉換成四維矢量呢：

• 對於一個點，從三維座標轉換成齊次座標就是把w分量設置爲1
• 對於方向矢量，需要把w分量設置爲0。這樣當用4×4矩陣進行變換時，平移的效果會被忽略（因爲方向矢量沒有位置）。

基礎變換矩陣

我們把表示純平移，純旋轉和純縮放的變換矩陣叫做基礎變換矩陣
我們可以把一個基礎變換矩陣分解成4個組成部分：
$\left[ \begin{matrix} M_{3×3} & T_{3×1}\\ 0_{1×3} & 1 \end{matrix} \right]$
其中，左上角的矩陣M_3×3表示旋轉和縮放，T_3×1表示平移，0_1×3是零矩陣，右下角的元素是標量1（第四行是（0 0 0 1）的原因是保證w分量保持不變）。

平移矩陣

我們可以使用矩陣乘法來表示對一個點進行平移變換，如下所示，從結果很容易看出這個矩陣爲什麼有平移效果：點的x, y, z分量分別增加了一個位置偏移，即把點（x, y, z）在空間中平移了（t_x, t_y, t_z）個單位。

對一個方向矢量進行平移變換，不會對其產生任何影響：

平移矩陣的逆矩陣就是反向平移得到的矩陣。可以看出平移矩陣並不是一個正交矩陣。

縮放矩陣

我們可以使用矩陣乘法來表示一個縮放變換：

對方向矢量同樣可以進行縮放：

如果縮放係數K_x = K_y = K_z，我們把這樣的縮放稱爲統一縮放，否則稱爲非統一縮放。從外觀上看，統一縮放是擴大整個模型，而非統一縮放會擠壓或拉伸模型，改變與模型相關的角度和比例。
縮放矩陣的逆矩陣是使用原縮放矩陣係數的倒數來進行縮放，縮放矩陣一般也不是正交矩陣。

旋轉矩陣

在學習三維空間下的旋轉矩陣前，我們先來看一下二維空間下的旋轉，向量v旋轉θ度，得到v’：

假設v的模爲r，則旋轉前v的x = r * cosΦ，y = r * sinΦ
旋轉後v’的x' = r * cos( Φ + θ )，y' = r * sin( Φ + θ )
根據三角函數的展開公式：
$cos( Φ + θ ) = cosΦ*cosθ - sinΦ*sinθ\\ sin( Φ + θ ) = sinΦcosθ + sinθ*cosΦ$
可得v’的x' = x*cosθ - y*sinθ，y' = x*sinθ + y*cosθ，即

讓我們再回到三維空間，上面的二維旋轉，可以理解爲在三維中繞z軸的旋轉正方向進行旋轉（讀者可以想象在左手座標系下，對於上圖的二維旋轉，z軸正方向是指向屏幕內部的，根據左手法則，繞z軸旋轉的正方向就是由x到y）
因此，三維空間下的繞z軸的旋轉矩陣如下所示，因爲繞z軸旋轉，所以z座標應該是保持不變的。

同理，繞x軸的旋轉如下所示：

繞y軸的旋轉如下所示：

旋轉矩陣是正交矩陣，因此旋轉矩陣的逆矩陣等於其轉置矩陣。而且多個旋轉矩陣之間的串聯同樣是正交的

複合變換

我們可以把平移，旋轉和縮放組合起來，形成一個複雜的變換過程。複合變換可以通過矩陣的串聯來實現。例如：

由於矩陣乘法不滿足交換律，因此矩陣乘法的順序很重要。在大多數情況下，我們約定變換的順序是先縮放，再旋轉，最後平移。
除了需要注意不同類型的變換順序外，還需要小心旋轉的變換順序。如果我們需要同時繞着3個軸進行旋轉，那麼應該按什麼樣的旋轉順序呢？
在Unity中，這個旋轉順序是zxy
旋轉時使用的座標系也有以下兩種選擇：

• 繞座標系E下的z軸旋轉θ_z，繞座標系E下的x軸旋轉θ_x，繞座標系E下的y軸旋轉θ_y
• 繞座標系E下的z軸旋轉θ_z後，座標系也繞z軸旋轉θ_z，新的座標系記做E’。再在E’下繞x軸旋轉θ_x，座標系也做同樣的旋轉，記做E’’。再在E’'下，繞y軸旋轉θ_y。即旋轉的時候，座標系也一起轉動。

上述兩種情況的結果是不一樣的，但如果把它們的順序顛倒一下，得到的結果就會是一樣的。
對於第二種情況，yxz旋轉順序的變換矩陣是M = M_{rotate_z} M_{rotate_x} M_{rotate_y}，則對於第一種情況，zxy的旋轉矩陣也是M = M_{rotate_z} M_{rotate_x} M_{rotate_y}。Untiy的zxy旋轉順序指的就是在第一種情況下旋轉的順序。