深入理解傅里葉變換的性質：實函數、卷積、相關、功率譜、頻響函數

1實函數傅里葉變換的性質

1.1實函數傅里葉變換的性質

所以，實函數x(t)的傅里葉變換X(w)的共軛 X*(w)=X(-w)

1.2實偶函數傅里葉變換的性質

1.3實奇函數傅里葉變換的性質

2傅里葉變換的基本性質

2.1線性

2.2對稱性

2.3摺疊性

由摺疊性和對稱性，對實函數f(t),對其傅里葉變換F（jw)的共軛F*（jw)=F(-jw)進行傅里葉變換，再除以2pi，就可得到f(t)，也可用傅里葉變換及逆變換公式進行證明。

2.4尺度變換性

時域信號沿時間軸壓縮（或時間尺度擴展）a倍，則其頻域信號沿頻率軸擴展（或頻率尺度壓縮）a倍。
改性質反映了信號的持續時間與其佔有頻帶成反比，信號持續時間壓縮的倍數恰好等於佔有頻帶的擴展倍數。

2.5時移性

2.6頻移性

2.7時域微分性

2.8頻域微分性

2.9時域積分性

2.10頻域積分性

2.11時域卷積定理

2.12頻域卷積定理

2.13帕塞瓦爾定理

詳細的參考資料見：

鏈接: https://wenku.baidu.com/view/e581cb01cc17552707220887.html.

3卷積

3.1卷積的定義

3.2卷積的計算

對摺、平移、積分：

3.3卷積的性質

3.3.1代數性質（乘積類似）

3.3.2微積分性質

3.3.3卷積的傅里葉變換性質

見2.11與2.12

詳細參考

鏈接: https://blog.csdn.net/einstellung/article/details/77412903l.

4相關

4.1定義

4.1.1相關係數

相關函數是描述信號X(s),Y(t)（這兩個信號可以是隨機的，也可以是確定的）在任意兩個不同時刻s、t的取值之間的相關程度。兩個信號之間的相似性大小用相關係數來衡量。定義：

稱爲變量 X 和 Y 的相關係數。若相關係數 = 0，則稱 X與Y 不相關。相關係數越大，相關性越大，但肯定小於或者等於1.。

4.1.2協方差函數

4.1.3自相關函數

自相關函數是信號在時域中特性的平均度量，它用來描述隨機信號x(t)在任意兩個不同時刻s，t的取值之間的相關程度，其定義式爲：

注意：這裏*表示相乘。

注意：這裏*表示卷積。
（1）實函數的自相關函數爲偶函數Rxx(-t)=Rxx(t)，其圖形對稱於縱軸，其傅里葉變換=功率譜，爲實偶函數，無相位。另外，根據傅里葉變換的定義，可證明Sxx（w）=X(-w)X(w)=X*(w)X(w)=|X(w)|^2。
（2）當s=t 時，自相關函數具有最大值，且等於信號的均方值，即
（3）週期信號的自相關函數仍爲同頻率的週期信號。

4.1.4互相關函數

互相關函數是描述隨機信號X(s),Y(t)在任意兩個不同時刻s，t的取值之間的相關程度,其定義爲：

互相關函數的上述性質在工程中具有重要的應用價值。
(1) 在混有周期成分的信號中提取特定的頻率成分。
(2) 線性定位和相關測速。

互相關函數的性質
(1)Rxy（t）=Ryx（-t）
(2)對於1、2同週期的函數，相關函數具有相同的週期特性

對信號f(t)g(t)，其互相關可定義爲：R_fg=f(-t)*g(t)=

注意？？，如果信號是覆信號，f(t)要共軛運算後參與運算。
注意有的資料上定義的是-$\tau$,與本定義正好相反，值一樣，只是時間正負相反。

互相關的性質可參考

鏈接: https://wenku.baidu.com/view/35136356f011f18583d049649b6648d7c0c7085a.html.

5功率譜與頻響函數

功率譜爲相關函數的傅里葉變換
Rxx（$\tau$）=x(-t)*x(t)=
$\int x(t)x(t+\tau)dt\,.$
Rxy（$\tau$）=x(-t)*y(t)=
$\int x(t)y(t+\tau)dt\,.$
上面*表示卷積

對實信號：
Sxx（w）=X(-w)X(w)=X*(w)X(w)
Sxy（w）=X(-w)Y(w)=X*(w)Y(w)
上面*表示共軛

所以頻響函數：
H(w)=Sxy/Sxx
H(w)=Syy/Syx

6卷積與相關的異同（個人體會）

卷積與相關都是對函數進行點積，點積在線性空間中表示一個向量向另一個向量的投影，表示兩個向量的相似程度，所以相關運算就體現了這種相似程度。
在函數空間中，函數的點積是類似的概念，傅里葉變換的本質是通過對函數與指數函數基（或者三角函數）進行點積計算得到函數在指數函數基下的投影座標，從而將函數分解成一系列的指數函數分量的。

卷積：f*g($\tau$)=f(t)*g(t)=$\int f(t)g(\tau-t)dt\,$=g(t)*f(t)=g*f($\tau$)

卷積滿足互換性，這是因爲卷積在進行相關的點積計算前，固定f(t),將g(t)反向然後右移動$\tau$，這時，g(t)與f(t)對向而行，$\tau$爲正的方向;如果固定g(t),f(t)掉頭與它對向而行進行點積計算，$\tau$爲正的方向，計算結果沒有不同。

互相關：R_fg($\tau$)=$\int f(t)g(t+\tau)dt\,=\int f(t-\tau)g(t)dt\,$=R_gf(-$\tau$)

互相關不滿足互換性，這是因爲，互相關計算時，固定f(t),g(t)與它同向而行，t的方向均向右，g(t)左移時$\tau$爲正的方向，g(t)時間前移$\tau$與f(t)點積，如果結果較大，說明相關的信號g(t)比f(t)滯後的時間爲$\tau$,此時，如果固定g(t)看，f(t)則是向右移動，所以計算結果一樣時，$\tau$應該爲負值。
所以R_fg($\tau$)與R_gf($\tau$)關於0點對稱，差別只在於是g(t)滯後$\tau$,還是超前$\tau$。