常規四元數只能表示空間旋轉變換，它的數學形式爲q = [cos(θ/2) nxsin(θ/2) nysin(θ/2) nzsin(θ/2)]，其中單位向量[nx ny nz]表示通過原點的旋轉軸，θ表示旋轉角度。對偶數的概念類似於複數，它的數學形式爲ẑ = r + dε並滿足ε2 = 0，其中r和d分別表示實部和對偶部，ε表示對偶算子。對偶四元數是實部和對偶部都爲四元數的對偶數，又可稱爲八元數。常規四元數只能表示空間旋轉，而對偶四元數可以表示空間任意旋轉和平移的組合。
對偶四元數的數學形式爲：
其中qr和qd都爲四元數，ε表示對偶算子。
利用旋轉和平移信息計算對偶四元數的方法如下：
其中r代表旋轉單位四元數，t代表平移四元數，t = [0 tx ty tz]。
利用對偶四元數計算旋轉和平移的方法如下：
當對偶四元數僅表示空間旋轉變換時，其表達式爲：
當對偶四元數僅表示空間平移變換時，其表達式爲：
利用對偶四元數對點p進行轉換後得到點p’：
其中q和q*分別代表對偶四元數及對應的共軛對偶四元數。
更詳細的對偶四元數基礎理論 https://wenku.baidu.com/view/e361f52f7fd5360cbb1adb1a.html