求兩個數最大公約數和最小公倍數的簡便方法

求兩個正整數a,b的最大公約數p和最小公倍數q。

最原始的方法是，p初始化爲min(a, b)，這裏假設a < b，則p = a，

                              然後檢測p能否同時整除a,b，是則停止循環，

                              否則令p -= 1，繼續檢測

對於q，則將其初始化爲max(a,b) = b, 則q = b,

                              檢測q能否同時被a和b整除，是則停止循環，

                              否則令q += 1,繼續檢測

可以看出這樣計算效率很低，耗時大，簡單的方法是採用歐幾里德算法來求最大公約數，而利用(a * b) / p來求最小公倍數。

輾轉相除法---歐幾里德算法

以計算（1397，2413）的最大公約數爲例：

以大數2413爲被除數，以小數1397爲除數，相除得：商爲1，餘數爲1016

以大數1397爲被除數，以小數1016爲除數，相除得：商爲1，餘數爲381

以大數1016爲被除數，以小數381爲除數，相除得：商爲2，餘數爲254

以大數381爲被除數，以小數254爲除數，相除得：商爲1，餘數爲127

以大數254爲被除數，以小數127爲除數，相除得：商爲2，餘數爲0

直到能整除，則127就是最大公約數

數學證明：

b = as + r (0 <= r <= b -1)，

若r=0, 顯然最大公約數爲a；

若r != 0, 由於b = as + r, 每個能整除a,r的整數都能整除b，則它能同時整除a,b

               又，r = b - as, 每個能整除a,b的整數都能整除r，則能整除a,r

因此，a,b的最大公約數和a,r的最大公約數相等。

do{
      r = b % a;
      b = a;
      a = r;
}while(!r)
     

遞歸的算法：

 

void gcd(int a, int b)
{
    int m;
    if (a > b)
        return gcd(b, a);
    if (b % a != 0)
        return gcd(a, b % a);
    else
        return a;
}